微分積分例

$\frac{5 x}{\sec (5 x)}$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x}{\sec (5 x)}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\frac{x}{\sec (5 x)}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = \sec (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 \frac{\sec (5 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 3.2

$\sec (5 x)$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{\sec (5 x) - x \frac{d}{d x} [\sec (5 x)]}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 4

$f (x) = \sec (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\frac{d}{d u} [\sec (u)] \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 4.2

$u$ に関する $\sec (u)$ の微分係数は $\sec (u) \tan (u)$ です。

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (u) \tan (u) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 4.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$5 \frac{\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 5

$\sec (5 x)$ を $\sec (5 x) - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ で因数分解します。

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ステップ 5.1

$1$ を掛けます。

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 - x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 5.2

$\sec (5 x)$ を $- x (\sec (5 x) \tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$ で因数分解します。

$5 \frac{\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 5.3

$\sec (5 x)$ を $\sec (5 x) \cdot 1 + \sec (5 x) (- x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))$ で因数分解します。

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec^{2} (5 x)}$

ステップ 6

共通因数を約分します。

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ステップ 6.1

$\sec (5 x)$ を $\sec^{2} (5 x)$ で因数分解します。

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

ステップ 6.2

共通因数を約分します。

$5 \frac{\sec (5 x) (1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]))}{\sec (5 x) \sec (5 x)}$

ステップ 6.3

式を書き換えます。

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])}{\sec (5 x)}$

ステップ 7

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 \frac{1 - x (\tan (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

ステップ 8

$5$ に $- 1$ をかけます。

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) (\frac{d}{d x} [x]))}{\sec (5 x)}$

ステップ 9

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 \frac{1 - 5 x (\tan (5 x) \cdot 1)}{\sec (5 x)}$

ステップ 10

分数をまとめます。

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ステップ 10.1

$\tan (5 x)$ に $1$ をかけます。

$5 \frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

ステップ 10.2

$5$ と $\frac{1 - 5 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$ をまとめます。

$\frac{5 (1 - 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{5 \cdot 1 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

ステップ 11.2

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 + 5 (- 5 x \tan (5 x))}{\sec (5 x)}$

ステップ 11.2.2

$- 5$ に $5$ をかけます。

$\frac{5 - 25 x \tan (5 x)}{\sec (5 x)}$

ステップ 11.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 25 x \tan (5 x) + 5}{\sec (5 x)}$

微分積分 例

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