微分積分例

$\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$

ステップ 1

$5 y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{5 x y}{y^{2} + 2 x}$ の微分係数は $5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$ です。

$5 y \frac{d}{d x} [\frac{x}{y^{2} + 2 x}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = y^{2} + 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 y \frac{(y^{2} + 2 x) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.2

$y^{2} + 2 x$ に $1$ をかけます。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [y^{2} + 2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $y^{2} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (\frac{d}{d x} [y^{2}] + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.4

$y^{2}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $y^{2}$ の微分係数は $0$ です。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (0 + \frac{d}{d x} [2 x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 x]$ をたし算します。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x \frac{d}{d x} [2 x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - x (2 \frac{d}{d x} [x])}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.7

$2$ に $- 1$ をかけます。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \frac{d}{d x} [x]}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x \cdot 1}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.9

項を簡約します。

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ステップ 3.9.1

$- 2$ に $1$ をかけます。

$5 y \frac{y^{2} + 2 x - 2 x}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.9.2

$2 x$ から $2 x$ を引きます。

$5 y \frac{y^{2} + 0}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.9.3

$y^{2}$ と $0$ をたし算します。

$5 y \frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.9.4

$5$ と $\frac{y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ をまとめます。

$y \frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 3.9.5

$y$ と $\frac{5 y^{2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{y (5 y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 4

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{5 (y^{1} y^{2})}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{5 y^{1 + 2}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

ステップ 6

$1$ と $2$ をたし算します。

$\frac{5 y^{3}}{{(y^{2} + 2 x)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例