微分積分例

$e^{100 x} - 3^{x}$

ステップ 1

総和則では、 $e^{100 x} - 3^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{100 x}] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{100 x}] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [e^{100 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 100 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $100 x$ とします。

$\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

ステップ 2.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u} \frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

ステップ 2.1.3

$u$ のすべての発生を $100 x$ で置き換えます。

$e^{100 x} \frac{d}{d x} [100 x] + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

ステップ 2.2

$100$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $100 x$ の微分係数は $100 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{100 x} (100 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

ステップ 2.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{100 x} (100 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

ステップ 2.4

$100$ に $1$ をかけます。

$e^{100 x} \cdot 100 + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

ステップ 2.5

$100$ を $e^{100 x}$ の左に移動させます。

$100 e^{100 x} + \frac{d}{d x} [- 3^{x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- 3^{x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3^{x}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [3^{x}]$ です。

$100 e^{100 x} - \frac{d}{d x} [3^{x}]$

ステップ 3.2

$a$ = $3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$100 e^{100 x} - 3^{x} \ln (3)$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$- 3^{x} \ln (3) + 100 e^{100 x}$

微分積分 例