微分積分例

$e^{4 x \ln (x^{3})}$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 4 x \ln (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $4 x \ln (x^{3})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

ステップ 1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $4 x \ln (x^{3})$ で置き換えます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} \frac{d}{d x} [4 x \ln (x^{3})]$

ステップ 2

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 x \ln (x^{3})$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})]$ です。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \frac{d}{d x} [x \ln (x^{3})])$

ステップ 3

$f (x) = x$ および $g (x) = \ln (x^{3})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x \frac{d}{d x} [\ln (x^{3})] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x^{3}$ とします。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (x (\frac{1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}]) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$\frac{1}{x^{3}}$ と $x$ をまとめます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2

$x$ と $x^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x^{1}}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2.2

$x$ を $x^{1}$ で因数分解します。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x^{3}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2.3

共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

$x$ を $x^{3}$ で因数分解します。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2.3.2

共通因数を約分します。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{x \cdot 1}{x \cdot x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.2.3.3

式を書き換えます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} \frac{d}{d x} [x^{3}] + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{1}{x^{2}} (3 x^{2}) + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.4

項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$3$ と $\frac{1}{x^{2}}$ をまとめます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3}{x^{2}} x^{2} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.4.2

$\frac{3}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.4.3

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.3.1

共通因数を約分します。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (\frac{3 x^{2}}{x^{2}} + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.4.3.2

$3$ を $1$ で割ります。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3}) \cdot 1))$

ステップ 5.6

$\ln (x^{3})$ に $1$ をかけます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 (3 + \ln (x^{3})))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3 + 4 \ln (x^{3}))$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \cdot 3) + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

ステップ 6.3

項をまとめます。

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ステップ 6.3.1

$4$ に $3$ をかけます。

$e^{4 x \ln (x^{3})} \cdot 12 + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

ステップ 6.3.2

$12$ を $e^{4 x \ln (x^{3})}$ の左に移動させます。

$12 e^{4 x \ln (x^{3})} + e^{4 x \ln (x^{3})} (4 \ln (x^{3}))$

ステップ 6.4

項を並べ替えます。

$4 e^{4 x \ln (x^{3})} \ln (x^{3}) + 12 e^{4 x \ln (x^{3})}$

微分積分 例

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