微分積分例

$\frac{d}{d x} \cdot (\ln ({(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}))$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} \frac{d}{d x} [{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \frac{x + 4}{x + 5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{x + 4}{x + 5}$ とします。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{3}] \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

ステップ 2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {u_{2}}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x + 4}{x + 5}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{d}{d x} [\frac{x + 4}{x + 5}])$

ステップ 3

$f (x) = x + 4$ および $g (x) = x + 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \frac{d}{d x} [x + 4] - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

総和則では、 $x + 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + \frac{d}{d x} [4]) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.3

$4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) (1 + 0) - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.4

式を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{(x + 5) \cdot 1 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.4.2

$x + 5$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \frac{d}{d x} [x + 5]}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.5

総和則では、 $x + 5$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5]$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + \frac{d}{d x} [5])}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.7

$5$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $5$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) (1 + 0)}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.8

分数をまとめます。

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ステップ 4.8.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4) \cdot 1}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.8.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (3 {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2} \frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 4.8.3

$\frac{x + 5 - (x + 4)}{{(x + 5)}^{2}}$ と $3$ をまとめます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{(x + 5 - (x + 4)) \cdot 3}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

ステップ 4.8.4

$3$ を $x + 5 - (x + 4)$ の左に移動させます。

$\frac{1}{{(\frac{x + 4}{x + 5})}^{3}} (\frac{3 \cdot (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

積の法則を $\frac{x + 4}{x + 5}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} {(\frac{x + 4}{x + 5})}^{2})$

ステップ 5.2

積の法則を $\frac{x + 4}{x + 5}$ に当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - (x + 4))}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.3

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 (x + 5 - x - 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.4

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5

項をまとめます。

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ステップ 5.5.1

分数の逆数を掛け、 $\frac{{(x + 4)}^{3}}{{(x + 5)}^{3}}$ で割ります。

$1 \frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.2

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 3 \cdot 5 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.3

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 + 3 (- x) + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.4

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 (- 1 \cdot 4)}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.5

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x + 3 \cdot - 4}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.6

$3$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3 x + 15 - 3 x - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.7

$3 x$ から $3 x$ を引きます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{0 + 15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.8

$0$ と $15$ をたし算します。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{15 - 12}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.9

$15$ から $12$ を引きます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} (\frac{3}{{(x + 5)}^{2}} \cdot \frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}})$

ステップ 5.5.10

$\frac{3}{{(x + 5)}^{2}}$ に $\frac{{(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2} {(x + 5)}^{2}}$

ステップ 5.5.11

指数を足して ${(x + 5)}^{2}$ に ${(x + 5)}^{2}$ を掛けます。

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ステップ 5.5.11.1

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{2 + 2}}$

ステップ 5.5.11.2

$2$ と $2$ をたし算します。

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}} \cdot \frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$

ステップ 5.5.12

$\frac{{(x + 5)}^{3}}{{(x + 4)}^{3}}$ に $\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 5)}^{4}}$ をかけます。

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

ステップ 5.5.13

$3$ を ${(x + 5)}^{3}$ の左に移動させます。

$\frac{3 \cdot {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

ステップ 5.5.14

${(x + 5)}^{3}$ と ${(x + 5)}^{4}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.14.1

${(x + 5)}^{3}$ を $3 {(x + 5)}^{3} {(x + 4)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}}$

ステップ 5.5.14.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.14.2.1

${(x + 5)}^{3}$ を ${(x + 4)}^{3} {(x + 5)}^{4}$ で因数分解します。

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

ステップ 5.5.14.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x + 5)}^{3} (3 {(x + 4)}^{2})}{{(x + 5)}^{3} ({(x + 4)}^{3} (x + 5))}$

ステップ 5.5.14.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3 {(x + 4)}^{2}}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

ステップ 5.5.15

${(x + 4)}^{2}$ と ${(x + 4)}^{3}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.15.1

${(x + 4)}^{2}$ を $3 {(x + 4)}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{3} (x + 5)}$

ステップ 5.5.15.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.5.15.2.1

${(x + 4)}^{2}$ を ${(x + 4)}^{3} (x + 5)$ で因数分解します。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

ステップ 5.5.15.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{{(x + 4)}^{2} \cdot 3}{{(x + 4)}^{2} ((x + 4) (x + 5))}$

ステップ 5.5.15.2.3

式を書き換えます。

$\frac{3}{(x + 4) (x + 5)}$

微分積分 例

微分積分例