微分積分例

$arccsc (5 x^{2} + 1)$

ステップ 1

$f (x) = arccsc (x)$ および $g (x) = 5 x^{2} + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{2} + 1$ とします。

$\frac{d}{d u} [arccsc (u)] \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $arccsc (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}}$ です。

$- \frac{1}{u \sqrt{u^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{2} + 1$ で置き換えます。

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} \frac{d}{d x} [5 x^{2} + 1]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $5 x^{2} + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (\frac{d}{d x} [5 x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{2}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (5 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.3

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (5 (2 x) + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.4

$2$ に $5$ をかけます。

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x + \frac{d}{d x} [1])$

ステップ 2.5

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x + 0)$

ステップ 2.6

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.1

$10 x$ と $0$ をたし算します。

$- \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} (10 x)$

ステップ 2.6.2

$10$ に $- 1$ をかけます。

$- 10 \frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

ステップ 2.6.3

$- 10$ と $\frac{1}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ をまとめます。

$\frac{- 10}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}} x$

ステップ 2.6.4

$\frac{- 10}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- 10 x}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

ステップ 2.6.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{10 x}{(5 x^{2} + 1) \sqrt{{(5 x^{2} + 1)}^{2} - 1}}$

微分積分 例

微分積分例