微分積分例

$arccot (x) + arccot (\frac{1}{x})$

ステップ 1

総和則では、 $arccot (x) + arccot (\frac{1}{x})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [arccot (x)] + \frac{d}{d x} [arccot (\frac{1}{x})]$ です。

$\frac{d}{d x} [arccot (x)] + \frac{d}{d x} [arccot (\frac{1}{x})]$

ステップ 2

$x$ に関する $arccot (x)$ の微分係数は $- \frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d x} [arccot (\frac{1}{x})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [arccot (\frac{1}{x})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = arccot (x)$ および $g (x) = \frac{1}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\frac{1}{x}$ とします。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{d}{d u} [arccot (u)] \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.1.2

$u$ に関する $arccot (u)$ の微分係数は $- \frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.1.3

$u$ のすべての発生を $\frac{1}{x}$ で置き換えます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [\frac{1}{x}]$

ステップ 3.2

$\frac{1}{x}$ を $x^{- 1}$ に書き換えます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [x^{- 1}]$

ステップ 3.3

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} - \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} (- x^{- 2})$

ステップ 3.4

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + 1 \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{- 2}$

ステップ 3.5

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}} x^{- 2}$

ステップ 3.6

$\frac{1}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$ と $x^{- 2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{x^{- 2}}{1 + {(\frac{1}{x})}^{2}}$

ステップ 3.7

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- 2}$ を分母に移動させます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{(1 + {(\frac{1}{x})}^{2}) x^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

積の法則を $\frac{1}{x}$ に当てはめます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{(1 + \frac{1^{2}}{x^{2}}) x^{2}}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{1 x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \frac{1^{2}}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.3.2

1のすべての数の累乗は1です。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \frac{1}{x^{2}} x^{2}}$

ステップ 4.3.3

$\frac{1}{x^{2}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 4.3.4

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.3.4.1

共通因数を約分します。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + \frac{x^{2}}{x^{2}}}$

ステップ 4.3.4.2

式を書き換えます。

$- \frac{1}{1 + x^{2}} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.3.5

項を並べ替えます。

$- \frac{1}{x^{2} + 1} + \frac{1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.3.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{- 1 + 1}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.3.7

$- 1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{0}{x^{2} + 1}$

ステップ 4.4

$0$ を $x^{2} + 1$ で割ります。

$0$

微分積分 例

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