微分積分例

${\cot (x)}^{\tan (x)}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${\cot (x)}^{\tan (x)}$ を $e^{\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})}]$

ステップ 1.2

$\tan (x)$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\cot (x)}^{\tan (x)})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\tan (x) \ln (\cot (x))}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \tan (x) \ln (\cot (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tan (x) \ln (\cot (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tan (x) \ln (\cot (x))$ で置き換えます。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \frac{d}{d x} [\tan (x) \ln (\cot (x))]$

ステップ 3

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = \ln (\cot (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) \frac{d}{d x} [\ln (\cot (x))] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cot (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cot (x)$ とします。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cot (x)$ で置き換えます。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\cot (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 5

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{1}{\frac{\cos (x)}{\sin (x)}} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 6

分数の逆数を掛け、 $\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ で割ります。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\frac{\sin (x)}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 7

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan (x) (\tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)]) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 8

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{1} (x) \tan (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 9

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 10

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} ({\tan (x)}^{1 + 1} \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 11

$1$ と $1$ をたし算します。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) \frac{d}{d x} [\cot (x)] + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 12

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \ln (\cot (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 13

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + \ln (\cot (x)) \sec^{2} (x))$

ステップ 14

簡約します。

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ステップ 14.1

分配則を当てはめます。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x))) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} (\ln (\cot (x)) \sec^{2} (x))$

ステップ 14.2

括弧を削除します。

$e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \tan^{2} (x) (- \csc^{2} (x)) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \ln (\cot (x)) \sec^{2} (x)$

ステップ 14.3

項を並べ替えます。

$- e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \csc^{2} (x) \tan^{2} (x) + e^{\tan (x) \ln (\cot (x))} \sec^{2} (x) \ln (\cot (x))$

微分積分 例

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