微分積分例

$\cos^{2} (x - \frac{π}{4})$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \cos (x - \frac{π}{4})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\cos (x - \frac{π}{4})$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\cos (x - \frac{π}{4})]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\cos (x - \frac{π}{4})]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\cos (x - \frac{π}{4})$ で置き換えます。

$2 \cos (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [\cos (x - \frac{π}{4})]$

ステップ 2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = x - \frac{π}{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x - \frac{π}{4}$ とします。

$2 \cos (x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$2 \cos (x - \frac{π}{4}) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x - \frac{π}{4}$ で置き換えます。

$2 \cos (x - \frac{π}{4}) (- \sin (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 \cos (x - \frac{π}{4}) (\sin (x - \frac{π}{4}) \frac{d}{d x} [x - \frac{π}{4}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $x - \frac{π}{4}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}]$ です。

$- 2 \cos (x - \frac{π}{4}) \sin (x - \frac{π}{4}) (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- 2 \cos (x - \frac{π}{4}) \sin (x - \frac{π}{4}) (1 + \frac{d}{d x} [- \frac{π}{4}])$

ステップ 3.4

$- \frac{π}{4}$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- \frac{π}{4}$ の微分係数は $0$ です。

$- 2 \cos (x - \frac{π}{4}) \sin (x - \frac{π}{4}) (1 + 0)$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- 2 \cos (x - \frac{π}{4}) \sin (x - \frac{π}{4}) \cdot 1$

ステップ 3.5.2

$- 2$ に $1$ をかけます。

$- 2 \cos (x - \frac{π}{4}) \sin (x - \frac{π}{4})$

微分積分 例

微分積分例