微分積分例

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}}$ を $e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x^{2}}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\cos (x)}^{\frac{1}{x^{2}}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x^{2}} \ln (\cos (x))}]$

ステップ 2

$\frac{1}{x^{2}}$ と $\ln (\cos (x))$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

ステップ 3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}]$

ステップ 4

$f (x) = \ln (\cos (x))$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 5

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 5.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 5.2

$2$ に $2$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\ln (\cos (x))] - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \cos (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 6.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\cos (x)$ とします。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 6.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\cos (x)$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\frac{1}{\cos (x)} \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 7

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 8

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 9

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 9.1

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - \ln (\cos (x)) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 9.2

くくりだして簡約します。

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ステップ 9.2.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

ステップ 9.2.2

$x$ を $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)) x$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.2.1

$x$ を $x^{2} (\sec (x) (- \sin (x)))$ で因数分解します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) - 2 \ln (\cos (x)) x}{x^{4}}$

ステップ 9.2.2.2

$x$ を $- 2 \ln (\cos (x)) x$ で因数分解します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

ステップ 9.2.2.3

$x$ を $x (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + x (- 2 \ln (\cos (x)))$ で因数分解します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{4}}$

ステップ 10

共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 10.2

共通因数を約分します。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 10.3

式を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

ステップ 11

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ と $\frac{x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x))}{x^{3}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x))) - 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12

簡約します。

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ステップ 12.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x (\sec (x) (- \sin (x)))) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.2

分子を簡約します。

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ステップ 12.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \sec (x) \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.2.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.2.1.3

$- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \frac{1}{\cos (x)}$ を掛けます。

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ステップ 12.2.1.3.1

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ と $\frac{1}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{- x \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.2.1.3.2

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{\cos (x)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} \sin (x) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.2.1.4

$\sin (x)$ と $\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)}$ をまとめます。

$\frac{- \frac{\sin (x) (e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x)}{\cos (x)} + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- 2 \ln (\cos (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.2.1.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))}{x^{3}}$

ステップ 12.2.1.6

$- 2 e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos (x))$ を掛けます。

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ステップ 12.2.1.6.1

$\ln (\cos (x))$ と $- 2$ を並べ替えます。

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - 2 \cdot \ln (\cos (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

ステップ 12.2.1.6.2

対数の中の $2$ を移動させて $- 2 \cdot \ln (\cos (x))$ を簡約します。

$\frac{- \frac{\sin (x) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

ステップ 12.2.2

各項を簡約します。

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ステップ 12.2.2.1

分数を分解します。

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

ステップ 12.2.2.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$\frac{- (\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x}{1} \tan (x)) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

ステップ 12.2.2.3

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x$ を $1$ で割ります。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}}{x^{3}}$

ステップ 12.2.3

$- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)) e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

ステップ 12.3

項を並べ替えます。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

ステップ 12.4

分子を簡約します。

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ステップ 12.4.1

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ を $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} x \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

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ステップ 12.4.1.1

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ を移動させます。

$\frac{- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.1.2

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ を $- x e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) - e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.1.3

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ を $- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \ln (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.1.4

$e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}}$ を $e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x)) + e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \ln (\cos^{2} (x)))$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \tan (x) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.2

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- x \frac{\sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.3

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.4

$- 1$ を $- \frac{\sin (x) x}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

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ステップ 12.4.4.1

$\sin (x)$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)} - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.4.2

$- 1$ を $- \frac{x \sin (x)}{\cos (x)}$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.4.3

$- 1$ を $- \ln (\cos^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.4.4

$- 1$ を $- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)}) - (\ln (\cos^{2} (x)))$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (- (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x))))}{x^{3}}$

$\frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} \cdot - 1 (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.4.5

負をくくり出します。

$\frac{- e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.5

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x \sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.6

各項を簡約します。

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ステップ 12.6.1

分数を分解します。

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \cdot \frac{\sin (x)}{\cos (x)} + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.6.2

$\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ を $\tan (x)$ に変換します。

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (\frac{x}{1} \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

ステップ 12.6.3

$x$ を $1$ で割ります。

$- \frac{e^{\frac{\ln (\cos (x))}{x^{2}}} (x \tan (x) + \ln (\cos^{2} (x)))}{x^{3}}$

微分積分 例

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