微分積分例

$\frac{8 x}{1 - \cot (x)}$

ステップ 1

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{8 x}{1 - \cot (x)}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$ です。

$8 \frac{d}{d x} [\frac{x}{1 - \cot (x)}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = 1 - \cot (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$8 \frac{(1 - \cot (x)) \frac{d}{d x} [x] - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$8 \frac{(1 - \cot (x)) \cdot 1 - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$1 - \cot (x)$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [1 - \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

総和則では、 $1 - \cot (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ です。

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.4

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (0 + \frac{d}{d x} [- \cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [- \cot (x)]$ をたし算します。

$8 \frac{1 - \cot (x) - x \frac{d}{d x} [- \cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.6

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \cot (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\cot (x)]$ です。

$8 \frac{1 - \cot (x) - x (- \frac{d}{d x} [\cot (x)])}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.7

掛け算します。

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ステップ 3.7.1

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$8 \frac{1 - \cot (x) + 1 x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 3.7.2

$x$ に $1$ をかけます。

$8 \frac{1 - \cot (x) + x \frac{d}{d x} [\cot (x)]}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\cot (x)$ の微分係数は $- \csc^{2} (x)$ です。

$8 \frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 5

$8$ と $\frac{1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{8 (1 - \cot (x) + x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

分配則を当てはめます。

$\frac{8 \cdot 1 + 8 (- \cot (x)) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.2

各項を簡約します。

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ステップ 6.2.1

$8$ に $1$ をかけます。

$\frac{8 + 8 (- \cot (x)) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.2

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 - 8 \cot (x) + 8 (x (- \csc^{2} (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{8 - 8 \cot (x) + 8 (- x \csc^{2} (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.2.4

$- 1$ に $8$ をかけます。

$\frac{8 - 8 \cot (x) - 8 x \csc^{2} (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.3

項を並べ替えます。

$\frac{- 8 x \csc^{2} (x) + 8 - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.4

$8$ を $- 8 x \csc^{2} (x) + 8 - 8 \cot (x)$ で因数分解します。

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ステップ 6.4.1

$8$ を $- 8 x \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.2

$8$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1) - 8 \cot (x)}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.3

$8$ を $- 8 \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1) + 8 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.4

$8$ を $8 (- x \csc^{2} (x)) + 8 (1)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 8 (- \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.4.5

$8$ を $8 (- x \csc^{2} (x) + 1) + 8 (- \cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{8 (- x \csc^{2} (x) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.5

$- 1$ を $- x \csc^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x)) + 1 - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.6

$1$ を $- 1 (- 1)$ に書き換えます。

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.7

$- 1$ を $- (x \csc^{2} (x)) - 1 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.8

$- 1$ を $- \cot (x)$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.9

$- 1$ を $- (x \csc^{2} (x) - 1) - (\cot (x))$ で因数分解します。

$\frac{8 (- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.10

$- (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ を $- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))$ に書き換えます。

$\frac{8 (- 1 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x)))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

ステップ 6.11

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 (x \csc^{2} (x) - 1 + \cot (x))}{{(1 - \cot (x))}^{2}}$

微分積分 例

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