微分積分例

$\frac{\arcsin (2 x)}{x}$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (2 x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\arcsin (2 x)] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $2 x$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 x)}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ を $2 x$ で因数分解します。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - {(2 (x))}^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

分数をまとめます。

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ステップ 3.2.1

式を簡約します。

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ステップ 3.2.1.1

積の法則を $2 (x)$ に当てはめます。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (2^{2} x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.1.2

$2$ を $2$ 乗します。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - (4 x^{2})}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x (\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [2 x] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} (2 \frac{d}{d x} [x]) - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4

$2$ と $\frac{x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \frac{d}{d x} [x] - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot 1 - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.6

$\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 4

$\frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$ に $\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}$ をかけます。

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}}}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} \cdot \frac{\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

項を簡約します。

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ステップ 5.1

まとめる。

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} (\frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} - \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 5.2

分配則を当てはめます。

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 5.3

$\sqrt{1 - 4 x^{2}}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{\sqrt{1 - 4 x^{2}} \frac{2 x}{\sqrt{1 - 4 x^{2}}} + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 5.3.2

式を書き換えます。

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \frac{d}{d x} [x])}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x) \cdot 1)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 x + \sqrt{1 - 4 x^{2}} (- \arcsin (2 x))}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{2 x - \sqrt{1 - 4 x^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.1.2

$1$ を $1^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x - \sqrt{1^{2} - 4 x^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.1.3

$4 x^{2}$ を ${(2 x)}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{2 x - \sqrt{1^{2} - {(2 x)}^{2}} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.1.4

両項とも完全平方なので、平方の差の公式 $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ を利用して、因数分解します。このとき、 $a = 1$ であり、 $b = 2 x$ です。

$\frac{2 x - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - (2 x))} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.1.5

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{2 x - \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \arcsin (2 x)}{\sqrt{1 - 4 x^{2}} x^{2}}$

ステップ 8.2

項を並べ替えます。

$\frac{- \sqrt{(1 + 2 x) (1 - 2 x)} \arcsin (2 x) + 2 x}{x^{2} \sqrt{1 - 4 x^{2}}}$

微分積分 例

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