微分積分例

$\frac{9 x^{3} + 3 x^{2}}{x}$

ステップ 1

$f (x) = 9 x^{3} + 3 x^{2}$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [9 x^{3} + 3 x^{2}] - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

総和則では、 $9 x^{3} + 3 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]$ です。

$\frac{x (\frac{d}{d x} [9 x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$9$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $9 x^{3}$ の微分係数は $9 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{x (9 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (9 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.4

$3$ に $9$ をかけます。

$\frac{x (27 x^{2} + \frac{d}{d x} [3 x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.5

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{2}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{x (27 x^{2} + 3 \frac{d}{d x} [x^{2}]) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.6

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (27 x^{2} + 3 (2 x)) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.7

$2$ に $3$ をかけます。

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2}) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 2.9

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (27 x^{2} + 6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3

簡約します。

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ステップ 3.1

分配則を当てはめます。

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3} + 3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.2

分配則を当てはめます。

$\frac{x (27 x^{2}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3

分子を簡約します。

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ステップ 3.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.3.1.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{27 x \cdot x^{2} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2

指数を足して $x$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$\frac{27 (x^{2} x) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2

$x^{2}$ に $x$ をかけます。

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ステップ 3.3.1.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$\frac{27 (x^{2} x^{1}) + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{27 x^{2 + 1} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.2.3

$2$ と $1$ をたし算します。

$\frac{27 x^{3} + x (6 x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{27 x^{3} + 6 x \cdot x - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.4

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.3.1.4.1

$x$ を移動させます。

$\frac{27 x^{3} + 6 (x \cdot x) - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.4.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - (9 x^{3}) - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.5

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - (3 x^{2})}{x^{2}}$

ステップ 3.3.1.6

$3$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{27 x^{3} + 6 x^{2} - 9 x^{3} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$27 x^{3}$ から $9 x^{3}$ を引きます。

$\frac{18 x^{3} + 6 x^{2} - 3 x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 3.3.3

$6 x^{2}$ から $3 x^{2}$ を引きます。

$\frac{18 x^{3} + 3 x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 3.4

$3 x^{2}$ を $18 x^{3} + 3 x^{2}$ で因数分解します。

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ステップ 3.4.1

$3 x^{2}$ を $18 x^{3}$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2}}{x^{2}}$

ステップ 3.4.2

$3 x^{2}$ を $3 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)}{x^{2}}$

ステップ 3.4.3

$3 x^{2}$ を $3 x^{2} (6 x) + 3 x^{2} (1)$ で因数分解します。

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 3.5

$x^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.5.1

共通因数を約分します。

$\frac{3 x^{2} (6 x + 1)}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2

$3 (6 x + 1)$ を $1$ で割ります。

$3 (6 x + 1)$

ステップ 3.6

分配則を当てはめます。

$3 (6 x) + 3 \cdot 1$

ステップ 3.7

$6$ に $3$ をかけます。

$18 x + 3 \cdot 1$

ステップ 3.8

$3$ に $1$ をかけます。

$18 x + 3$

微分積分 例

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