微分積分例

$\frac{\sin (5 x)}{x}$

ステップ 1

$f (x) = \sin (5 x)$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x \frac{d}{d x} [\sin (5 x)] - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$\frac{x (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{x (\cos (u) \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{x (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x]) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x (\cos (5 x) (5 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (\cos (5 x) (5 \cdot 1)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3

式を簡約します。

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ステップ 3.3.1

$5$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (\cos (5 x) \cdot 5) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.3.2

$5$ を $\cos (5 x)$ の左に移動させます。

$\frac{x (5 \cdot \cos (5 x)) - \sin (5 x) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 3.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x (5 \cos (5 x)) - \sin (5 x) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 3.5

式を簡約します。

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ステップ 3.5.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{x (5 \cos (5 x)) - \sin (5 x)}{x^{2}}$

ステップ 3.5.2

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{5 x \cos (5 x) - \sin (5 x)}{x^{2}}$

微分積分 例

微分積分例