微分積分例

$\frac{\sin (3 x)}{x^{2}}$

ステップ 1

$f (x) = \sin (3 x)$ および $g (x) = x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{{(x^{2})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{2})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{2 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$2$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{2} \frac{d}{d x} [\sin (3 x)] - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x$ とします。

$\frac{x^{2} (\frac{d}{d u} [\sin (u)] \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\sin (u)$ の微分係数は $\cos (u)$ です。

$\frac{x^{2} (\cos (u) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \frac{d}{d x} [3 x]) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \frac{d}{d x} [x])) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) (3 \cdot 1)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3

式を簡約します。

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ステップ 4.3.1

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (\cos (3 x) \cdot 3) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.3.2

$3$ を $\cos (3 x)$ の左に移動させます。

$\frac{x^{2} (3 \cdot \cos (3 x)) - \sin (3 x) \frac{d}{d x} [x^{2}]}{x^{4}}$

ステップ 4.4

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - \sin (3 x) (2 x)}{x^{4}}$

ステップ 4.5

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.5.1

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.5.2

$x$ を $x^{2} (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x) x$ で因数分解します。

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ステップ 4.5.2.1

$x$ を $x^{2} (3 \cos (3 x))$ で因数分解します。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) - 2 \sin (3 x) x}{x^{4}}$

ステップ 4.5.2.2

$x$ を $- 2 \sin (3 x) x$ で因数分解します。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

ステップ 4.5.2.3

$x$ を $x (x (3 \cos (3 x))) + x (- 2 \sin (3 x))$ で因数分解します。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x^{4}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x$ を $x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x (x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x))}{x \cdot x^{3}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{x (3 \cos (3 x)) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

ステップ 6

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{3 x \cos (3 x) - 2 \sin (3 x)}{x^{3}}$

微分積分 例

微分積分例