微分積分例

$\sin^{2} (\ln (x))$

ステップ 1

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = \sin (\ln (x))$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\sin (\ln (x))$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{2}] \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

ステップ 1.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 u_{1} \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\sin (\ln (x))$ で置き換えます。

$2 \sin (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\sin (\ln (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\ln (x)$ とします。

$2 \sin (\ln (x)) (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 2.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$2 \sin (\ln (x)) (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\ln (x)$ で置き換えます。

$2 \sin (\ln (x)) (\cos (\ln (x)) \frac{d}{d x} [\ln (x)])$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$2 \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x)) \frac{1}{x}$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{x}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{x} \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x))$

ステップ 4.2

$\frac{2}{x}$ と $\sin (\ln (x))$ をまとめます。

$\frac{2 \sin (\ln (x))}{x} \cos (\ln (x))$

ステップ 4.3

$\frac{2 \sin (\ln (x))}{x}$ と $\cos (\ln (x))$ をまとめます。

$\frac{2 \sin (\ln (x)) \cos (\ln (x))}{x}$

ステップ 5

分子を簡約します。

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ステップ 5.1

正弦2倍角の公式を当てはめます。

$\frac{\sin (2 \ln (x))}{x}$

ステップ 5.2

対数の中の $2$ を移動させて $2 \ln (x)$ を簡約します。

$\frac{\sin (\ln (x^{2}))}{x}$

微分積分 例

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