微分積分例

$\arcsin (3 x^{4})$

ステップ 1

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = 3 x^{4}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x^{4}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $3 x^{4}$ で置き換えます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 x^{4})}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

$3$ を $3 x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - {(3 (x^{4}))}^{2}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 2.2

式を簡約します。

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ステップ 2.2.1

積の法則を $3 (x^{4})$ に当てはめます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (3^{2} {(x^{4})}^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 2.2.2

$3$ を $2$ 乗します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (9 {(x^{4})}^{2})}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 2.2.3

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (9 x^{4 \cdot 2})}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 2.2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - (9 x^{8})}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 2.2.4

$9$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} \frac{d}{d x} [3 x^{4}]$

ステップ 2.3

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{4}$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} (3 \frac{d}{d x} [x^{4}])$

ステップ 2.4

$3$ と $\frac{1}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}}$ をまとめます。

$\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} \frac{d}{d x} [x^{4}]$

ステップ 2.5

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} (4 x^{3})$

ステップ 2.6

分数をまとめます。

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ステップ 2.6.1

$4$ と $\frac{3}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}}$ をまとめます。

$\frac{4 \cdot 3}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} x^{3}$

ステップ 2.6.2

$4$ に $3$ をかけます。

$\frac{12}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}} x^{3}$

ステップ 2.6.3

$\frac{12}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}}$ と $x^{3}$ をまとめます。

$\frac{12 x^{3}}{\sqrt{1 - 9 x^{8}}}$

微分積分 例

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