微分積分例

${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$

ステップ 1

対数の性質を利用して微分を簡約します。

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ステップ 1.1

${\tan (x)}^{\frac{1}{x}}$ を $e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [e^{\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})}]$

ステップ 1.2

$\frac{1}{x}$ を対数の外に移動させて、 $\ln ({\tan (x)}^{\frac{1}{x}})$ を展開します。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{1}{x} \ln (\tan (x))}]$

ステップ 2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (\tan (x))$ をまとめます。

$\frac{d}{d x} [e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}]$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = \frac{\ln (\tan (x))}{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

ステップ 3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\frac{\ln (\tan (x))}{x}$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{d}{d x} [\frac{\ln (\tan (x))}{x}]$

ステップ 4

$f (x) = \ln (\tan (x))$ および $g (x) = x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x \frac{d}{d x} [\ln (\tan (x))] - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 5.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\tan (x)$ とします。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{d}{d u_{2}} [\ln (u_{2})] \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.2

$u_{2}$ に関する $\ln (u_{2})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{2}}$ です。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{u_{2}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 5.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\tan (x)$ で置き換えます。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\tan (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 6

正弦と余弦に関して $\tan (x)$ を書き換えます。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{1}{\frac{\sin (x)}{\cos (x)}} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 7

分数の逆数を掛け、 $\frac{\sin (x)}{\cos (x)}$ で割ります。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 8

$\frac{\cos (x)}{\sin (x)}$ を $\cot (x)$ に変換します。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \frac{d}{d x} [\tan (x)]) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 9

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \frac{d}{d x} [x]}{x^{2}}$

ステップ 10

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 10.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)) \cdot 1}{x^{2}}$

ステップ 10.2

分数をまとめます。

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ステップ 10.2.1

$- 1$ に $1$ をかけます。

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

ステップ 10.2.2

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ と $\frac{x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x))}{x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x)) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11

簡約します。

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ステップ 11.1

分配則を当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\cot (x) \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2

分子を簡約します。

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ステップ 11.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 11.2.1.1

正弦と余弦に関して $\cot (x)$ を書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \sec^{2} (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.2

正弦と余弦に関して $\sec (x)$ を書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} {(\frac{1}{\cos (x)})}^{2})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.3

積の法則を $\frac{1}{\cos (x)}$ に当てはめます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos^{2} (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.4

$\cos (x)$ の共通因数を約分します。

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ステップ 11.2.1.4.1

$\cos (x)$ を $\cos^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.4.2

共通因数を約分します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{\cos (x)}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x) \cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.4.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1}{\sin (x)} \cdot \frac{1^{2}}{\cos (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.5

$\frac{1}{\sin (x)}$ に $\frac{1^{2}}{\cos (x)}$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \frac{1^{2}}{\sin (x) \cos (x)}) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.6

分数を分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \cdot \frac{1}{\sin (x)})) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.7

$\frac{1}{\sin (x)}$ を $\csc (x)$ に変換します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.8

分数を分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \cdot \frac{1}{\cos (x)} \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.9

$\frac{1}{\cos (x)}$ を $\sec (x)$ に変換します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x (\frac{1^{2}}{1} \sec (x) \csc (x))) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.10

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{\frac{1^{2}}{1} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.11

$1^{2}$ を $1$ で割ります。

$\frac{1^{2} e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.12

1のすべての数の累乗は1です。

$\frac{1 e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.13

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.1.14

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

ステップ 11.2.2

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ の因数を並べ替えます。

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \sec (x) \csc (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

ステップ 11.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

ステップ 11.4

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ を $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} x \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ で因数分解します。

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ステップ 11.4.1

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ と $x$ を並べ替えます。

$\frac{x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

ステップ 11.4.2

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ を $x e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \csc (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) - e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))}{x^{2}}$

ステップ 11.4.3

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ を $- e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} \ln (\tan (x))$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

ステップ 11.4.4

$e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}}$ を $e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x)) + e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (- \ln (\tan (x)))$ で因数分解します。

$\frac{e^{\frac{\ln (\tan (x))}{x}} (x \csc (x) \sec (x) - \ln (\tan (x)))}{x^{2}}$

微分積分 例

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