微分積分例

$\frac{\tan (x)}{1 + \sec (x)}$

ステップ 1

$f (x) = \tan (x)$ および $g (x) = 1 + \sec (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(1 + \sec (x)) \frac{d}{d x} [\tan (x)] - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [1 + \sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 3

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

総和則では、 $1 + \sec (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)]$ です。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\frac{d}{d x} [1] + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 3.2

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (0 + \frac{d}{d x} [\sec (x)])}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 3.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sec (x)]$ をたし算します。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) \frac{d}{d x} [\sec (x)]}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan (x) (\sec (x) \tan (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 5

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 6

$\tan (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - (\tan^{1} (x) \tan^{1} (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 7

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - {\tan (x)}^{1 + 1} \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 8

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2

分子を簡約します。

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ステップ 9.2.1

$\sec (x)$ を $1 \sec^{2} (x) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

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ステップ 9.2.1.1

$\sec (x)$ を $1 \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.2

$\sec (x)$ を $\sec (x) \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) - \tan^{2} (x) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.3

$\sec (x)$ を $- \tan^{2} (x) \sec (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.4

$\sec (x)$ を $\sec (x) (1 \sec (x)) + \sec (x) (\sec^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.1.5

$\sec (x)$ を $\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x)) + \sec (x) (- \tan^{2} (x))$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + \sec^{2} (x) - \tan^{2} (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.2

ピタゴラスの定理を当てはめます。

$\frac{\sec (x) (1 \sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.3

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.4

分配則を当てはめます。

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.5

$\sec (x) \sec (x)$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 9.2.5.1

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec^{1} (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.5.2

$\sec (x)$ を $1$ 乗します。

$\frac{\sec^{1} (x) \sec^{1} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.5.3

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{{\sec (x)}^{1 + 1} + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.5.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.2.6

$\sec (x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{\sec^{2} (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.3

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x) + \sec (x)$ で因数分解します。

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ステップ 9.3.1

$\sec (x)$ を $\sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.3.2

$1$ を掛けます。

$\frac{\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.3.3

$\sec (x)$ を $\sec (x) \sec (x) + \sec (x) \cdot 1$ で因数分解します。

$\frac{\sec (x) (\sec (x) + 1)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.4

$\sec (x) + 1$ と ${(1 + \sec (x))}^{2}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.1

項を並べ替えます。

$\frac{\sec (x) (1 + \sec (x))}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.4.2

$1 + \sec (x)$ を $\sec (x) (1 + \sec (x))$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{{(1 + \sec (x))}^{2}}$

ステップ 9.4.3

共通因数を約分します。

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ステップ 9.4.3.1

$1 + \sec (x)$ を ${(1 + \sec (x))}^{2}$ で因数分解します。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

ステップ 9.4.3.2

共通因数を約分します。

$\frac{(1 + \sec (x)) \sec (x)}{(1 + \sec (x)) (1 + \sec (x))}$

ステップ 9.4.3.3

式を書き換えます。

$\frac{\sec (x)}{1 + \sec (x)}$

微分積分 例

微分積分例