微分積分例

$\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{e^{2 x} + 2 x}$ を ${(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = e^{2 x} + 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{2 x} + 2 x$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{2 x} + 2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 7

和の法則を使って微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(e^{2 x} + 2 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{2 x} + 2 x]$

ステップ 7.3

総和則では、 $e^{2 x} + 2 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x]$ です。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [e^{2 x}] + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} (2 \cdot 1) + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.3

式を簡約します。

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ステップ 9.3.1

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (e^{2 x} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.3.2

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 \cdot e^{2 x} + \frac{d}{d x} [2 x])$

ステップ 9.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2 \cdot 1)$

ステップ 9.6

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

$\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}} (2 e^{2 x} + 2)$ の因数を並べ替えます。

$(2 e^{2 x} + 2) \frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.2

$2 e^{2 x} + 2$ に $\frac{1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{2 e^{2 x} + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.3

$2$ を $2 e^{2 x}$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.4

$2$ を $2$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{2 x}) + 2 \cdot 1}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.5

$2$ を $2 (e^{2 x}) + 2 (1)$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6

共通因数を約分します。

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ステップ 10.6.1

$2$ を $2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 ({(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 10.6.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (e^{2 x} + 1)}{2 {(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 10.6.3

式を書き換えます。

$\frac{e^{2 x} + 1}{{(e^{2 x} + 2 x)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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