微分積分例

$e^{x} - x^{3} \arctan (x)$

ステップ 1

総和則では、 $e^{x} - x^{3} \arctan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [e^{x}] + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$

ステップ 2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} + \frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- x^{3} \arctan (x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{3} \arctan (x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{3} \arctan (x)]$ です。

$e^{x} - \frac{d}{d x} [x^{3} \arctan (x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = \arctan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} - (x^{3} \frac{d}{d x} [\arctan (x)] + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.3

$x$ に関する $\arctan (x)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + x^{2}}$ です。

$e^{x} - (x^{3} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.4

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} - (x^{3} \frac{1}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (3 x^{2}))$

ステップ 3.5

$x^{3}$ と $\frac{1}{1 + x^{2}}$ をまとめます。

$e^{x} - (\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} + \arctan (x) (3 x^{2}))$

ステップ 3.6

$\arctan (x) (3 x^{2})$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$e^{x} - (\frac{x^{3}}{1 + x^{2}} + \frac{\arctan (x) (3 x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}})$

ステップ 3.7

公分母の分子をまとめます。

$e^{x} - \frac{x^{3} + \arctan (x) (3 x^{2}) (1 + x^{2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} - \frac{x^{3} + \arctan (x) (3 x^{2}) \cdot 1 + \arctan (x) (3 x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

$\arctan (x)$ に $1$ をかけます。

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \cdot \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{2}) x^{2}}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.2.2

指数を足して $x^{2}$ に $x^{2}$ を掛けます。

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ステップ 4.2.2.1

$x^{2}$ を移動させます。

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 (x^{2} x^{2}))}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{2 + 2})}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.2.2.3

$2$ と $2$ をたし算します。

$e^{x} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4})}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.2.3

$e^{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + x^{2}}{1 + x^{2}}$ を掛けます。

$\frac{e^{x} (1 + x^{2})}{1 + x^{2}} - \frac{x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4})}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.2.4

公分母の分子をまとめます。

$\frac{e^{x} (1 + x^{2}) - (x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4}))}{1 + x^{2}}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$\frac{e^{x} (1 + x^{2}) - (x^{3} + 3 x^{2} \arctan (x) + \arctan (x) (3 x^{4}))}{x^{2} + 1}$

微分積分 例

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