微分積分例

$e^{x} (x^{2} - 2 x + 2)$

ステップ 1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{2} - 2 x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$e^{x} \frac{d}{d x} [x^{2} - 2 x + 2] + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2

微分します。

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ステップ 2.1

総和則では、 $x^{2} - 2 x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$e^{x} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (2 x + \frac{d}{d x} [- 2 x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.3

$- 2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2 x$ の微分係数は $- 2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$e^{x} (2 x - 2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$e^{x} (2 x - 2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.5

$- 2$ に $1$ をかけます。

$e^{x} (2 x - 2 + \frac{d}{d x} [2]) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.6

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$e^{x} (2 x - 2 + 0) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 2.7

$2 x - 2$ と $0$ をたし算します。

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) \frac{d}{d x} [e^{x}]$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$e^{x} (2 x - 2) + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + (x^{2} - 2 x + 2) e^{x}$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$e^{x} (2 x) + e^{x} \cdot - 2 + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$- 2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$e^{x} (2 x) - 2 \cdot e^{x} + x^{2} e^{x} - 2 x e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 4.3.2

$e^{x} (2 x)$ から $2 x e^{x}$ を引きます。

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ステップ 4.3.2.1

$e^{x}$ を移動させます。

$2 x e^{x} - 2 x e^{x} - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 4.3.2.2

$2 x e^{x}$ から $2 x e^{x}$ を引きます。

$0 - 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 4.3.3

$0$ から $2 e^{x}$ を引きます。

$- 2 e^{x} + x^{2} e^{x} + 2 e^{x}$

ステップ 4.3.4

$- 2 e^{x}$ と $2 e^{x}$ をたし算します。

$x^{2} e^{x} + 0$

ステップ 4.3.5

$x^{2} e^{x}$ と $0$ をたし算します。

$x^{2} e^{x}$

ステップ 4.4

$x^{2} e^{x}$ の因数を並べ替えます。

$e^{x} x^{2}$

ステップ 4.5

$e^{x} x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$x^{2} e^{x}$

微分積分 例

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