微分積分例

$\ln ({(3 + e^{x})}^{2})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(3 + e^{x})}^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(3 + e^{x})}^{2}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(3 + e^{x})}^{2}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} \frac{d}{d x} [{(3 + e^{x})}^{2}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{2}$ および $g (x) = 3 + e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $3 + e^{x}$ とします。

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{2}] \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

ステップ 2.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 u_{2} \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $3 + e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}} (2 (3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

ステップ 3

微分します。

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ステップ 3.1

$2$ と $\frac{1}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [3 + e^{x}])$

ステップ 3.2

総和則では、 $3 + e^{x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]$ です。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

ステップ 3.3

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) (0 + \frac{d}{d x} [e^{x}]))$

ステップ 3.4

$0$ と $\frac{d}{d x} [e^{x}]$ をたし算します。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) \frac{d}{d x} [e^{x}])$

ステップ 4

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}} ((3 + e^{x}) e^{x})$

ステップ 5

分数をまとめます。

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ステップ 5.1

$e^{x}$ と $\frac{2}{{(3 + e^{x})}^{2}}$ をまとめます。

$\frac{e^{x} \cdot 2}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

ステップ 5.2

$2$ を $e^{x}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}} (3 + e^{x})$ の因数を並べ替えます。

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{{(3 + e^{x})}^{2}}$

ステップ 6.2

$3 + e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.1

$3 + e^{x}$ を ${(3 + e^{x})}^{2}$ で因数分解します。

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

ステップ 6.2.2

共通因数を約分します。

$(3 + e^{x}) \frac{2 e^{x}}{(3 + e^{x}) (3 + e^{x})}$

ステップ 6.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 e^{x}}{3 + e^{x}}$

微分積分 例

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