微分積分例

$\ln ({(x^{4})}^{2})$

ステップ 1

${(x^{4})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{4 \cdot 2})]$

ステップ 1.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [\ln (x^{8})]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = x^{8}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{8}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{8}$ で置き換えます。

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ステップ 2.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{x^{4 \cdot 2}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 2.3.2

$4$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{x^{8}} \frac{d}{d x} [x^{8}]$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$n = 8$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x^{8}} (8 x^{7})$

ステップ 3.2

項を簡約します。

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ステップ 3.2.1

$8$ と $\frac{1}{x^{8}}$ をまとめます。

$\frac{8}{x^{8}} x^{7}$

ステップ 3.2.2

$\frac{8}{x^{8}}$ と $x^{7}$ をまとめます。

$\frac{8 x^{7}}{x^{8}}$

ステップ 3.2.3

$x^{7}$ と $x^{8}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.1

$x^{7}$ を $8 x^{7}$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{8}}$

ステップ 3.2.3.2

共通因数を約分します。

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ステップ 3.2.3.2.1

$x^{7}$ を $x^{8}$ で因数分解します。

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{7} x}$

ステップ 3.2.3.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{7} \cdot 8}{x^{7} x}$

ステップ 3.2.3.2.3

式を書き換えます。

$\frac{8}{x}$

微分積分 例

微分積分例