微分積分例

$\ln ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.3

$u_{1}$ のすべての発生を ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 8 x^{3} - 3 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $8 x^{3} - 3 x$ とします。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 2.3

$u_{2}$ のすべての発生を $8 x^{3} - 3 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 7

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} {(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 8

$\frac{1}{2}$ と ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{{(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 9

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(8 x^{3} - 3 x)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x])$

ステップ 10

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ に $\frac{1}{{(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

ステップ 11

指数を足して ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ に ${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 11.1

${(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}}$ を移動させます。

$\frac{1}{2 ({(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}} {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2}})} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

ステップ 11.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

ステップ 11.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{1 + 1}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

ステップ 11.4

$1$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{\frac{2}{2}}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

ステップ 11.5

$2$ を $2$ で割ります。

$\frac{1}{2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

ステップ 12

$2 {(8 x^{3} - 3 x)}^{1}$ を簡約します。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} \frac{d}{d x} [8 x^{3} - 3 x]$

ステップ 13

総和則では、 $8 x^{3} - 3 x$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x]$ です。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (\frac{d}{d x} [8 x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 14

$8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $8 x^{3}$ の微分係数は $8 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 15

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (8 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 16

$3$ に $8$ をかけます。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} + \frac{d}{d x} [- 3 x])$

ステップ 17

$- 3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 3 x$ の微分係数は $- 3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 18

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3 \cdot 1)$

ステップ 19

$- 3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2 (8 x^{3} - 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

ステップ 20

簡約します。

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ステップ 20.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{2 (8 x^{3}) + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

ステップ 20.2

項をまとめます。

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ステップ 20.2.1

$8$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{16 x^{3} + 2 (- 3 x)} (24 x^{2} - 3)$

ステップ 20.2.2

$- 3$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$

ステップ 20.3

$\frac{1}{16 x^{3} - 6 x} (24 x^{2} - 3)$ の因数を並べ替えます。

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{16 x^{3} - 6 x}$

ステップ 20.4

$2 x$ を $16 x^{3} - 6 x$ で因数分解します。

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ステップ 20.4.1

$2 x$ を $16 x^{3}$ で因数分解します。

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) - 6 x}$

ステップ 20.4.2

$2 x$ を $- 6 x$ で因数分解します。

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)}$

ステップ 20.4.3

$2 x$ を $2 x (8 x^{2}) + 2 x (- 3)$ で因数分解します。

$(24 x^{2} - 3) \frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

ステップ 20.5

$24 x^{2} - 3$ に $\frac{1}{2 x (8 x^{2} - 3)}$ をかけます。

$\frac{24 x^{2} - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

ステップ 20.6

$3$ を $24 x^{2} - 3$ で因数分解します。

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ステップ 20.6.1

$3$ を $24 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{3 (8 x^{2}) - 3}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

ステップ 20.6.2

$3$ を $- 3$ で因数分解します。

$\frac{3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

ステップ 20.6.3

$3$ を $3 (8 x^{2}) + 3 (- 1)$ で因数分解します。

$\frac{3 (8 x^{2} - 1)}{2 x (8 x^{2} - 3)}$

微分積分 例

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