微分積分例

$\frac{\ln (7 x)}{x^{5}}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (7 x)$ および $g (x) = x^{5}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{{(x^{5})}^{2}}$

ステップ 2

${(x^{5})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 2.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{5 \cdot 2}}$

ステップ 2.2

$5$ に $2$ をかけます。

$\frac{x^{5} \frac{d}{d x} [\ln (7 x)] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = 7 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $7 x$ とします。

$\frac{x^{5} (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$\frac{x^{5} (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $7 x$ で置き換えます。

$\frac{x^{5} (\frac{1}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{7 x}$ と $x^{5}$ をまとめます。

$\frac{\frac{x^{5}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.2

$x^{5}$ と $x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.1

$x$ を $x^{5}$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{7 x} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 4.2.2.1

$x$ を $7 x$ で因数分解します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{x \cdot x^{4}}{x \cdot 7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{\frac{x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [7 x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.3

$7$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $7 x$ の微分係数は $7 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\frac{x^{4}}{7} (7 \frac{d}{d x} [x]) - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.4

項を簡約します。

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ステップ 4.4.1

$7$ と $\frac{x^{4}}{7}$ をまとめます。

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.4.2

$7$ の共通因数を約分します。

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ステップ 4.4.2.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{7 x^{4}}{7} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.4.2.2

$x^{4}$ を $1$ で割ります。

$\frac{x^{4} \frac{d}{d x} [x] - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4} \cdot 1 - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.6

$x^{4}$ に $1$ をかけます。

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) \frac{d}{d x} [x^{5}]}{x^{10}}$

ステップ 4.7

$n = 5$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{x^{4} - \ln (7 x) (5 x^{4})}{x^{10}}$

ステップ 4.8

くくりだして簡約します。

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ステップ 4.8.1

$5$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 4.8.2

$x^{4}$ を $x^{4} - 5 \ln (7 x) x^{4}$ で因数分解します。

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ステップ 4.8.2.1

$1$ を掛けます。

$\frac{x^{4} \cdot 1 - 5 \ln (7 x) x^{4}}{x^{10}}$

ステップ 4.8.2.2

$x^{4}$ を $- 5 \ln (7 x) x^{4}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

ステップ 4.8.2.3

$x^{4}$ を $x^{4} \cdot 1 + x^{4} (- 5 \ln (7 x))$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{10}}$

ステップ 5

共通因数を約分します。

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ステップ 5.1

$x^{4}$ を $x^{10}$ で因数分解します。

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 5.2

共通因数を約分します。

$\frac{x^{4} (1 - 5 \ln (7 x))}{x^{4} x^{6}}$

ステップ 5.3

式を書き換えます。

$\frac{1 - 5 \ln (7 x)}{x^{6}}$

ステップ 6

各項を簡約します。

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ステップ 6.1

対数の中の $5$ を移動させて $- 5 \ln (7 x)$ を簡約します。

$\frac{1 - \ln ({(7 x)}^{5})}{x^{6}}$

ステップ 6.2

積の法則を $7 x$ に当てはめます。

$\frac{1 - \ln (7^{5} x^{5})}{x^{6}}$

ステップ 6.3

$7$ を $5$ 乗します。

$\frac{1 - \ln (16807 x^{5})}{x^{6}}$

微分積分 例

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