微分積分例

$\frac{\ln (x)}{\ln (x) + 1}$

ステップ 1

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \ln (x) + 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [\frac{f (x)}{g (x)}]$ は $\frac{g (x) \frac{d}{d x} [f (x)] - f (x) \frac{d}{d x} [g (x)]}{{g (x)}^{2}}$ であるという商の法則を使って微分します。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{d}{d x} [\ln (x)] - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 2

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{d}{d x} [\ln (x) + 1]}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 3

総和則では、 $\ln (x) + 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1]$ です。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{d}{d x} [\ln (x)] + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 4

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + \frac{d}{d x} [1])}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 5

定数の規則を使って微分します。

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ステップ 5.1

$1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $1$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) (\frac{1}{x} + 0)}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2

分数をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$\frac{1}{x}$ と $0$ をたし算します。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \ln (x) \frac{1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 5.2.2

$\frac{1}{x}$ と $\ln (x)$ をまとめます。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 6

$(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{x}{x}$ を掛けます。

$\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} \cdot \frac{x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 7

$(\ln (x) + 1) \frac{1}{x}$ と $\frac{x}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x}{x} - \frac{\ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 8

公分母の分子をまとめます。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{1}{x} x - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 9

$x$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 10

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 10.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \frac{x}{x} - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 10.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{(\ln (x) + 1) \cdot 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 11

$\ln (x) + 1$ に $1$ をかけます。

$\frac{\frac{\ln (x) + 1 - \ln (x)}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 12

対数の商の性質を使います、 $\log_{b} (x) - \log_{b} (y) = \log_{b} (\frac{x}{y})$ です。

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 13

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 13.1

共通因数を約分します。

$\frac{\frac{\ln (\frac{x}{x}) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 13.2

式を書き換えます。

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 14

$\frac{\frac{\ln (1) + 1}{x}}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ を積として書き換えます。

$\frac{\ln (1) + 1}{x} \cdot \frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 15

$\frac{\ln (1) + 1}{x}$ に $\frac{1}{{(\ln (x) + 1)}^{2}}$ をかけます。

$\frac{\ln (1) + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 16

分子を簡約します。

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ステップ 16.1

$1$ の自然対数は $0$ です。

$\frac{0 + 1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

ステップ 16.2

$0$ と $1$ をたし算します。

$\frac{1}{x {(\ln (x) + 1)}^{2}}$

微分積分 例

微分積分例