微分積分例

$\log (x e^{x})$

ステップ 1

$f (x) = \log (x)$ および $g (x) = x e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x e^{x}$ とします。

$\frac{d}{d u} [\log (u)] \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 1.2

$u$ に関する $\log (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u \ln (10)}$ です。

$\frac{1}{u \ln (10)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 1.3

$u$ のすべての発生を $x e^{x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (10)} \frac{d}{d x} [x e^{x}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (10)} (x \frac{d}{d x} [e^{x}] + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d x} [a^{x}]$ は $a^{x} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (10)} (x e^{x} + e^{x} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 4.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (10)} (x e^{x} + e^{x} \cdot 1)$

ステップ 4.2

$e^{x}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (10)} (x e^{x} + e^{x})$

ステップ 5

簡約します。

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ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$\frac{1}{x e^{x} \ln (10)} (x e^{x}) + \frac{1}{x e^{x} \ln (10)} e^{x}$

ステップ 5.2

項をまとめます。

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ステップ 5.2.1

$x$ と $\frac{1}{x e^{x} \ln (10)}$ をまとめます。

$\frac{x}{x e^{x} \ln (10)} e^{x} + \frac{1}{x e^{x} \ln (10)} e^{x}$

ステップ 5.2.2

$\frac{x}{x e^{x} \ln (10)}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (10)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (10)} e^{x}$

ステップ 5.2.3

$x$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.3.1

共通因数を約分します。

$\frac{x e^{x}}{x e^{x} \ln (10)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (10)} e^{x}$

ステップ 5.2.3.2

式を書き換えます。

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (10)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (10)} e^{x}$

ステップ 5.2.4

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.4.1

共通因数を約分します。

$\frac{e^{x}}{e^{x} \ln (10)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (10)} e^{x}$

ステップ 5.2.4.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\ln (10)} + \frac{1}{x e^{x} \ln (10)} e^{x}$

ステップ 5.2.5

$\frac{1}{x e^{x} \ln (10)}$ と $e^{x}$ をまとめます。

$\frac{1}{\ln (10)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (10)}$

ステップ 5.2.6

$e^{x}$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.2.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{\ln (10)} + \frac{e^{x}}{x e^{x} \ln (10)}$

ステップ 5.2.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{\ln (10)} + \frac{1}{x \ln (10)}$

ステップ 5.3

項を並べ替えます。

$\frac{1}{x \ln (10)} + \frac{1}{\ln (10)}$

微分積分 例

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