微分積分例

$\sqrt{4 x^{2} + 1600}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x^{2} + 1600}]$ を $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2} + 400}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$4 x^{2} + 1600$ を $2^{2} (x^{2} + 400)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $4 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2}) + 1600}]$

ステップ 1.1.2

$4$ を $1600$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2}) + 4 (400)}]$

ステップ 1.1.3

$4$ を $4 (x^{2}) + 4 (400)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x^{2} + 400)}]$

ステップ 1.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x^{2} + 400)}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x^{2} + 400}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x^{2} + 400}$ を ${(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x^{2} + 400$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{2} + 400$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x^{2} + 400$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{2} {(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{{(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x^{2} + 400)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (\frac{1}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

ステップ 8.5

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 {(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

ステップ 8.6

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{2} + 400]$

ステップ 9

総和則では、 $x^{2} + 400$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [400]$ です。

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [400])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + \frac{d}{d x} [400])$

ステップ 11

$400$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $400$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x + 0)$

ステップ 12

分数をまとめます。

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ステップ 12.1

$2 x$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} (2 x)$

ステップ 12.2

$2$ と $\frac{1}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}} x$

ステップ 12.3

$\frac{2}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$\frac{2 x}{{(x^{2} + 400)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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