微分積分例

$\sqrt{4 x + 8}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x + 8}]$ を $\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$4 x + 8$ を $2^{2} (x + 2)$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$4$ を $4 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 8}]$

ステップ 1.1.2

$4$ を $8$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x) + 4 (2)}]$

ステップ 1.1.3

$4$ を $4 (x) + 4 (2)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 (x + 2)}]$

ステップ 1.1.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2^{2} (x + 2)}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [2 \sqrt{x + 2}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x + 2}$ を ${(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x + 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x + 2$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x + 2$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 8

項を簡約します。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (\frac{1}{2} {(x + 2)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (\frac{{(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x + 2)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 8.5

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 {(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 8.6

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x + 2]$

ステップ 9

総和則では、 $x + 2$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2]$ です。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 10

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + \frac{d}{d x} [2])$

ステップ 11

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} (1 + 0)$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 12.2

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(x + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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