微分積分例

$\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$

ステップ 1

総和則では、 $\sqrt{2 x + 4 y} + \sqrt{4 x y}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ です。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [\sqrt{2 x + 4 y}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 x + 4 y}$ を ${(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 x + 4 y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x + 4 y$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x + 4 y$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 x + 4 y] + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.3

総和則では、 $2 x + 4 y$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]$ です。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (\frac{d}{d x} [2 x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [4 y]) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.6

$4 y$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $4 y$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.9

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.10

分子を簡約します。

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ステップ 2.10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{\frac{- 1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.11

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 \cdot 1 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.12

$2$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} (2 + 0) + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.13

$2$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{2} {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.14

$\frac{1}{2}$ と ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \cdot 2 + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.15

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{{(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}} \cdot 2}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.16

$2$ を ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{2 \cdot {(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.17

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 x + 4 y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.18

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 {(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 2.19

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [\sqrt{4 x y}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{4 x y}$ を ${(4 x y)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.2

$4$ を $4 x y$ で因数分解します。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(4 (x y))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.3

積の法則を $4 (x y)$ に当てはめます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [4^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.4

$4$ を $2^{2}$ に書き換えます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [{(2^{2})}^{\frac{1}{2}} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.5

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.6

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 3.6.1

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{2 (\frac{1}{2})} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.6.2

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2^{1} {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.7

指数を求めます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{d}{d x} [2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.8

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{d}{d x} [{(x y)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3.9

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = x y$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.9.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $x y$ とします。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 3.9.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [{u_{2}}^{n}]$ は $n {u_{2}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {u_{2}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 3.9.3

$u_{2}$ のすべての発生を $x y$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [x y])$

ステップ 3.10

$y$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $x y$ の微分係数は $y \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 3.11

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1} (y \cdot 1))$

ステップ 3.12

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} (y \cdot 1))$

ステップ 3.13

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

ステップ 3.14

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} (y \cdot 1))$

ステップ 3.15

分子を簡約します。

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ステップ 3.15.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{1 - 2}{2}} (y \cdot 1))$

ステップ 3.15.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{\frac{- 1}{2}} (y \cdot 1))$

ステップ 3.16

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} (y \cdot 1))$

ステップ 3.17

$y$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{1}{2} {(x y)}^{- \frac{1}{2}} y)$

ステップ 3.18

$\frac{1}{2}$ と ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 (\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2} y)$

ステップ 3.19

$\frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $y$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{{(x y)}^{- \frac{1}{2}} y}{2}$

ステップ 3.20

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(x y)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + 2 \frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.21

$2$ と $\frac{y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.22

共通因数を約分します。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{2 y}{2 {(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 3.23

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{{(x y)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

積の法則を $x y$ に当てはめます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y}{x^{\frac{1}{2}} y^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2

項をまとめます。

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ステップ 4.2.1

負の指数法則 $\frac{1}{b^{n}} = b^{- n}$ を利用して $y^{\frac{1}{2}}$ を分子に移動させます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y \cdot y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2

指数を足して $y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1

$y$ に $y^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.2.2.1.1

$y$ を $1$ 乗します。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1} y^{- \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{1 - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2.3

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{2 - 1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 4.2.2.4

$2$ から $1$ を引きます。

$\frac{1}{{(2 x + 4 y)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{y^{\frac{1}{2}}}{x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例