微分積分例

$\sqrt{2 + 2 e^{6 x}}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{2 + 2 e^{6 x}}$ を ${(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 2 + 2 e^{6 x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 + 2 e^{6 x}$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 + 2 e^{6 x}$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(2 + 2 e^{6 x})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(2 + 2 e^{6 x})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(2 + 2 e^{6 x})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(2 + 2 e^{6 x})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 + 2 e^{6 x}]$

ステップ 7.3

総和則では、 $2 + 2 e^{6 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 e^{6 x}]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [2] + \frac{d}{d x} [2 e^{6 x}])$

ステップ 7.4

$2$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $2$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [2 e^{6 x}])$

ステップ 7.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [2 e^{6 x}]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [2 e^{6 x}]$

ステップ 7.6

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 e^{6 x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$ です。

$\frac{1}{2 {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} (2 \frac{d}{d x} [e^{6 x}])$

ステップ 7.7

項を簡約します。

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ステップ 7.7.1

$2$ と $\frac{1}{2 {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2}{2 {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$

ステップ 7.7.2

共通因数を約分します。

$\frac{2}{2 {(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$

ステップ 7.7.3

式を書き換えます。

$\frac{1}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [e^{6 x}]$

ステップ 8

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 6 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $6 x$ とします。

$\frac{1}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 8.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$\frac{1}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $6 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} (e^{6 x} \frac{d}{d x} [6 x])$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

$e^{6 x}$ と $\frac{1}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{e^{6 x}}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [6 x]$

ステップ 9.2

$6$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $6 x$ の微分係数は $6 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{e^{6 x}}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} (6 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9.3

$6$ と $\frac{e^{6 x}}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{6 e^{6 x}}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{6 e^{6 x}}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 9.5

式を簡約します。

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ステップ 9.5.1

$\frac{6 e^{6 x}}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{6 e^{6 x}}{{(2 + 2 e^{6 x})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 9.5.2

項を並べ替えます。

$\frac{6 e^{6 x}}{{(2 e^{6 x} + 2)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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