微分積分例

$\sqrt{3 + \sin (5 x)}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 + \sin (5 x)}$ を ${(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 + \sin (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $3 + \sin (5 x)$ とします。

$\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [{u_{1}}^{n}]$ は $n {u_{1}}^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{2} {u_{1}}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $3 + \sin (5 x)$ で置き換えます。

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 6.2

$1$ から $2$ を引きます。

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 7

微分します。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{2} {(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 7.2

分数をまとめます。

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ステップ 7.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$\frac{{(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 7.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 + \sin (5 x))}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 + \sin (5 x)]$

ステップ 7.3

総和則では、 $3 + \sin (5 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3] + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

ステップ 7.4

$3$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $3$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [\sin (5 x)])$

ステップ 7.5

$0$ と $\frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$ をたし算します。

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [\sin (5 x)]$

ステップ 8

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 8.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $5 x$ とします。

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d u_{2}} [\sin (u_{2})] \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 8.2

$u_{2}$ に関する $\sin (u_{2})$ の微分係数は $\cos (u_{2})$ です。

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\cos (u_{2}) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 8.3

$u_{2}$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (\cos (5 x) \frac{d}{d x} [5 x])$

ステップ 9

微分します。

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ステップ 9.1

$\cos (5 x)$ と $\frac{1}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [5 x]$

ステップ 9.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} (5 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 9.3

$5$ と $\frac{\cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 9.4

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}} \cdot 1$

ステップ 9.5

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$ に $1$ をかけます。

$\frac{5 \cos (5 x)}{2 {(3 + \sin (5 x))}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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