微分積分例

$\sqrt{10000 - 40 x - 0.02 x^{2}}$

ステップ 1

$\frac{d}{d x} [\sqrt{10000 - 40 x - 0.02 x^{2}}]$ を $\frac{d}{d x} [0.14142135 \sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}]$ に書き換えます。

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ステップ 1.1

$10000 - 40 x - 0.02 x^{2}$ を ${0.14142135}^{2} (500000 - 2000 x - x^{2})$ に書き換えます。

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ステップ 1.1.1

$0.02$ を $10000$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000) - 40 x - 0.02 x^{2}}]$

ステップ 1.1.2

$0.02$ を $- 40 x$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000) + 0.02 (- 2000 x) - 0.02 x^{2}}]$

ステップ 1.1.3

$0.02$ を $0.02 (500000) + 0.02 (- 2000 x)$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x) - 0.02 x^{2}}]$

ステップ 1.1.4

$0.02$ を $- 0.02 x^{2}$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x) + 0.02 (- x^{2})}]$

ステップ 1.1.5

$0.02$ を $0.02 (500000 - 2000 x) + 0.02 (- x^{2})$ で因数分解します。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{0.02 (500000 - 2000 x - x^{2})}]$

ステップ 1.1.6

$0.02$ を ${0.14142135}^{2}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [\sqrt{{0.14142135}^{2} (500000 - 2000 x - x^{2})}]$

ステップ 1.2

累乗根の下から項を取り出します。

$\frac{d}{d x} [0.14142135 \sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}]$

ステップ 2

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 2.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{500000 - 2000 x - x^{2}}$ を ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [0.14142135 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2.2

$0.14142135$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $0.14142135 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $0.14142135 \frac{d}{d x} [{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$0.14142135 \frac{d}{d x} [{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 500000 - 2000 x - x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $500000 - 2000 x - x^{2}$ とします。

$0.14142135 (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$0.14142135 (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $500000 - 2000 x - x^{2}$ で置き換えます。

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 8

分数をまとめます。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$0.14142135 (\frac{1}{2} {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 8.2

$\frac{1}{2}$ と ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$0.14142135 (\frac{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 8.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(500000 - 2000 x - x^{2})}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$0.14142135 (\frac{1}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}])$

ステップ 8.4

$\frac{1}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ と $0.14142135$ をまとめます。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [500000 - 2000 x - x^{2}]$

ステップ 9

総和則では、 $500000 - 2000 x - x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [500000] + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}]$ です。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [500000] + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 10

$500000$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $500000$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (0 + \frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 11

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 2000 x]$ をたし算します。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [- 2000 x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 12

$- 2000$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 2000 x$ の微分係数は $- 2000 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 14

$- 2000$ に $1$ をかけます。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 + \frac{d}{d x} [- x^{2}])$

ステップ 15

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x^{2}$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - \frac{d}{d x} [x^{2}])$

ステップ 16

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - (2 x))$

ステップ 17

$2$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - 2 x)$

ステップ 18

簡約します。

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ステップ 18.1

$\frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}} (- 2000 - 2 x)$ の因数を並べ替えます。

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.2

$0.14142135$ を $0.14142135$ で因数分解します。

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135 (1)}{2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.3

$2$ を $2 {(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}$ で因数分解します。

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.14142135 (1)}{2 ({(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}})}$

ステップ 18.4

分数を分解します。

$(- 2000 - 2 x) (\frac{0.14142135}{2} \cdot \frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 18.5

$0.14142135$ を $2$ で割ります。

$(- 2000 - 2 x) (0.07071067 \frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 18.6

$0.07071067$ と $\frac{1}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$(- 2000 - 2 x) \frac{0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.7

$- 2000 - 2 x$ に $\frac{0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$ をかけます。

$\frac{(- 2000 - 2 x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.8

分子を簡約します。

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ステップ 18.8.1

$2$ を $- 2000 - 2 x$ で因数分解します。

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ステップ 18.8.1.1

$2$ を $- 2000$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- 1000) - 2 x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.8.1.2

$2$ を $- 2 x$ で因数分解します。

$\frac{(2 (- 1000) + 2 (- x)) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.8.1.3

$2$ を $2 (- 1000) + 2 (- x)$ で因数分解します。

$\frac{2 (- 1000 - x) \cdot 0.07071067}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.8.2

$0.07071067$ に $2$ をかけます。

$\frac{0.14142135 (- 1000 - x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.9

$- 1000$ を $- 1 (1000)$ に書き換えます。

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000) - x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.10

$- 1$ を $- x$ で因数分解します。

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000) - (x))}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.11

$- 1$ を $- 1 (1000) - (x)$ で因数分解します。

$\frac{0.14142135 (- 1 (1000 + x))}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18.12

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{0.14142135 (1000 + x)}{{(500000 - 2000 x - x^{2})}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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