微分積分例

$\sqrt[3]{- 4 x^{2} + 3 x - 10}$

ステップ 1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt[3]{- 4 x^{2} + 3 x - 10}$ を ${(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{1}{3}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{1}{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{3}}$ および $g (x) = - 4 x^{2} + 3 x - 10$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $- 4 x^{2} + 3 x - 10$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{3}}] \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 2.2

$n = \frac{1}{3}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3} u^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $- 4 x^{2} + 3 x - 10$ で置き換えます。

$\frac{1}{3} {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{1}{3} - 1} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 3

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{3}{3}$ を掛けます。

$\frac{1}{3} {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{1}{3} - 1 \cdot \frac{3}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 4

$- 1$ と $\frac{3}{3}$ をまとめます。

$\frac{1}{3} {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{1}{3} + \frac{- 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 5

公分母の分子をまとめます。

$\frac{1}{3} {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{1 - 1 \cdot 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 6

分子を簡約します。

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ステップ 6.1

$- 1$ に $3$ をかけます。

$\frac{1}{3} {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{1 - 3}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 6.2

$1$ から $3$ を引きます。

$\frac{1}{3} {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{- 2}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 7

分数をまとめます。

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ステップ 7.1

分数の前に負数を移動させます。

$\frac{1}{3} {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{- \frac{2}{3}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 7.2

$\frac{1}{3}$ と ${(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{- \frac{2}{3}}$ をまとめます。

$\frac{{(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{- \frac{2}{3}}}{3} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 7.3

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{- \frac{2}{3}}$ を分母に移動させます。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} \frac{d}{d x} [- 4 x^{2} + 3 x - 10]$

ステップ 8

総和則では、 $- 4 x^{2} + 3 x - 10$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10]$ です。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (\frac{d}{d x} [- 4 x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])$

ステップ 9

$- 4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 4 x^{2}$ の微分係数は $- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 4 \frac{d}{d x} [x^{2}] + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])$

ステップ 10

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 4 (2 x) + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])$

ステップ 11

$2$ に $- 4$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 8 x + \frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 10])$

ステップ 12

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 8 x + 3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 10])$

ステップ 13

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 8 x + 3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 10])$

ステップ 14

$3$ に $1$ をかけます。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 8 x + 3 + \frac{d}{d x} [- 10])$

ステップ 15

$- 10$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 10$ の微分係数は $0$ です。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 8 x + 3 + 0)$

ステップ 16

$- 8 x + 3$ と $0$ をたし算します。

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 8 x + 3)$

ステップ 17

簡約します。

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ステップ 17.1

$\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}} (- 8 x + 3)$ の因数を並べ替えます。

$(- 8 x + 3) \frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.2

$- 8 x + 3$ に $\frac{1}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}}$ をかけます。

$\frac{- 8 x + 3}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.3

$- 1$ を $- 8 x$ で因数分解します。

$\frac{- (8 x) + 3}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.4

$3$ を $- 1 (- 3)$ に書き換えます。

$\frac{- (8 x) - 1 (- 3)}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.5

$- 1$ を $- (8 x) - 1 (- 3)$ で因数分解します。

$\frac{- (8 x - 3)}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.6

$- (8 x - 3)$ を $- 1 (8 x - 3)$ に書き換えます。

$\frac{- 1 (8 x - 3)}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

ステップ 17.7

分数の前に負数を移動させます。

$- \frac{8 x - 3}{3 {(- 4 x^{2} + 3 x - 10)}^{\frac{2}{3}}}$

微分積分 例

微分積分例