微分積分例

$2 \ln (\sec (x) + \tan (x))$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \ln (\sec (x) + \tan (x))$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\ln (\sec (x) + \tan (x))]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \sec (x) + \tan (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $\sec (x) + \tan (x)$ とします。

$2 (\frac{d}{d u} [\ln (u)] \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\ln (u)$ の微分係数は $\frac{1}{u}$ です。

$2 (\frac{1}{u} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $\sec (x) + \tan (x)$ で置き換えます。

$2 (\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)])$

ステップ 3

和の法則を使って微分します。

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ステップ 3.1

$\frac{1}{\sec (x) + \tan (x)}$ と $2$ をまとめます。

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} \frac{d}{d x} [\sec (x) + \tan (x)]$

ステップ 3.2

総和則では、 $\sec (x) + \tan (x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)]$ です。

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\frac{d}{d x} [\sec (x)] + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 4

$x$ に関する $\sec (x)$ の微分係数は $\sec (x) \tan (x)$ です。

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \frac{d}{d x} [\tan (x)])$

ステップ 5

$x$ に関する $\tan (x)$ の微分係数は $\sec^{2} (x)$ です。

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$

ステップ 6

簡約します。

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ステップ 6.1

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} (\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x))$ の因数を並べ替えます。

$(\sec (x) \tan (x) + \sec^{2} (x)) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.2

分配則を当てはめます。

$\sec (x) \tan (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.3

$\sec (x) \tan (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ を掛けます。

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ステップ 6.3.1

$\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ と $\sec (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)} \tan (x) + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.3.2

$\frac{2 \sec (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$ と $\tan (x)$ をまとめます。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \sec^{2} (x) \frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.4

$\sec^{2} (x)$ と $\frac{2}{\sec (x) + \tan (x)}$ をまとめます。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{\sec^{2} (x) \cdot 2}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.5

$2$ を $\sec^{2} (x)$ の左に移動させます。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x)}{\sec (x) + \tan (x)} + \frac{2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.6

公分母の分子をまとめます。

$\frac{2 \sec (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.7

$2 \sec (x)$ を $2 \sec (x) \tan (x) + 2 \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

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ステップ 6.7.1

$2 \sec (x)$ を $2 \sec (x) \tan (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec^{2} (x)}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.7.2

$2 \sec (x)$ を $2 \sec^{2} (x)$ で因数分解します。

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec (x) (\sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

ステップ 6.7.3

$2 \sec (x)$ を $2 \sec (x) (\tan (x)) + 2 \sec (x) (\sec (x))$ で因数分解します。

$\frac{2 \sec (x) (\tan (x) + \sec (x))}{\sec (x) + \tan (x)}$

微分積分 例

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