微分積分例

$2 \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) \cos (2 x)$

ステップ 1

総和則では、 $2 \cos (x) \sin (2 x) - \sin (x) \cos (2 x)$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 \cos (x) \sin (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 \cos (x) \sin (2 x)$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (2 x)]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [\cos (x) \sin (2 x)] + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.2

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = \sin (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (\cos (x) \frac{d}{d x} [\sin (2 x)] + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.3

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $2 x$ とします。

$2 (\cos (x) (\frac{d}{d u_{1}} [\sin (u_{1})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.3.2

$u_{1}$ に関する $\sin (u_{1})$ の微分係数は $\cos (u_{1})$ です。

$2 (\cos (x) (\cos (u_{1}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) \frac{d}{d x} [\cos (x)]) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.6

$x$ に関する $\cos (x)$ の微分係数は $- \sin (x)$ です。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) (2 \cdot 1)) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.7

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (\cos (x) (\cos (2 x) \cdot 2) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.8

$2$ を $\cos (2 x)$ の左に移動させます。

$2 (\cos (x) (2 \cdot \cos (2 x)) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 2.9

$2$ を $\cos (x)$ の左に移動させます。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) + \frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \sin (x) \cos (2 x)]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sin (x) \cos (2 x)$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (2 x)]$ です。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - \frac{d}{d x} [\sin (x) \cos (2 x)]$

ステップ 3.2

$f (x) = \sin (x)$ および $g (x) = \cos (2 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) \frac{d}{d x} [\cos (2 x)] + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3

$f (x) = \cos (x)$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (\frac{d}{d u_{2}} [\cos (u_{2})] \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3.2

$u_{2}$ に関する $\cos (u_{2})$ の微分係数は $- \sin (u_{2})$ です。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (u_{2}) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.3.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) \frac{d}{d x} [2 x]) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \frac{d}{d x} [x])) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \frac{d}{d x} [\sin (x)])$

ステップ 3.6

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) (2 \cdot 1)) + \cos (2 x) \cos (x))$

ステップ 3.7

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- \sin (2 x) \cdot 2) + \cos (2 x) \cos (x))$

ステップ 3.8

$2$ に $- 1$ をかけます。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x) + \sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cos (x))$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x)) + \cos (2 x) \cos (x))$

ステップ 4.2

分配則を当てはめます。

$2 (2 \cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

ステップ 4.3

項をまとめます。

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ステップ 4.3.1

$2$ に $2$ をかけます。

$4 (\cos (x) \cos (2 x)) + 2 (\sin (2 x) (- \sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

ステップ 4.3.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 (\sin (2 x) (\sin (x))) - (\sin (x) (- 2 \sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

ステップ 4.3.3

$- 2$ に $- 1$ をかけます。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 \sin (2 x) \sin (x) + 2 (\sin (x) (\sin (2 x))) - (\cos (2 x) \cos (x))$

ステップ 4.3.4

$- 2 \sin (2 x) \sin (x)$ の因数を並べ替えます。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - 2 \sin (x) \sin (2 x) + 2 \sin (x) \sin (2 x) - \cos (2 x) \cos (x)$

ステップ 4.3.5

$- 2 \sin (x) \sin (2 x)$ と $2 \sin (x) \sin (2 x)$ をたし算します。

$4 \cos (x) \cos (2 x) + 0 - \cos (2 x) \cos (x)$

ステップ 4.3.6

$4 \cos (x) \cos (2 x)$ と $0$ をたし算します。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - \cos (2 x) \cos (x)$

ステップ 4.3.7

$- \cos (2 x) \cos (x)$ の因数を並べ替えます。

$4 \cos (x) \cos (2 x) - \cos (x) \cos (2 x)$

ステップ 4.3.8

$4 \cos (x) \cos (2 x)$ から $\cos (x) \cos (2 x)$ を引きます。

$3 \cos (x) \cos (2 x)$

微分積分 例

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