微分積分例

$2 x {(4 - x)}^{2}$

ステップ 1

${(4 - x)}^{2}$ を $(4 - x) (4 - x)$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x ((4 - x) (4 - x))]$

ステップ 2

分配法則（FOIL法）を使って $(4 - x) (4 - x)$ を展開します。

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ステップ 2.1

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 x (4 (4 - x) - x (4 - x))]$

ステップ 2.2

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x (4 - x))]$

ステップ 2.3

分配則を当てはめます。

$\frac{d}{d x} [2 x (4 \cdot 4 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

ステップ 3

簡約し、同類項をまとめます。

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ステップ 3.1

各項を簡約します。

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ステップ 3.1.1

$4$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 + 4 (- x) - x \cdot 4 - x (- x))]$

ステップ 3.1.2

$- 1$ に $4$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - x \cdot 4 - x (- x))]$

ステップ 3.1.3

$4$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - x (- x))]$

ステップ 3.1.4

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x \cdot x)]$

ステップ 3.1.5

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 3.1.5.1

$x$ を移動させます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 (x \cdot x))]$

ステップ 3.1.5.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x - 1 \cdot - 1 x^{2})]$

ステップ 3.1.6

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + 1 x^{2})]$

ステップ 3.1.7

$x^{2}$ に $1$ をかけます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 4 x - 4 x + x^{2})]$

ステップ 3.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$\frac{d}{d x} [2 x (16 - 8 x + x^{2})]$

ステップ 4

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x (16 - 8 x + x^{2})$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x (16 - 8 x + x^{2})]$

ステップ 5

$f (x) = x$ および $g (x) = 16 - 8 x + x^{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [16 - 8 x + x^{2}] + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

微分します。

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ステップ 6.1

総和則では、 $16 - 8 x + x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$2 (x (\frac{d}{d x} [16] + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.2

$16$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $16$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x (0 + \frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.3

$0$ と $\frac{d}{d x} [- 8 x]$ をたし算します。

$2 (x (\frac{d}{d x} [- 8 x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.4

$- 8$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- 8 x$ の微分係数は $- 8 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x (- 8 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (- 8 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.6

$- 8$ に $1$ をかけます。

$2 (x (- 8 + \frac{d}{d x} [x^{2}]) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.7

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6.8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (- 8 + 2 x) + (16 - 8 x + x^{2}) \cdot 1)$

ステップ 6.9

$16 - 8 x + x^{2}$ に $1$ をかけます。

$2 (x (- 8 + 2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

ステップ 7

簡約します。

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ステップ 7.1

分配則を当てはめます。

$2 (x \cdot - 8 + x (2 x) + 16 - 8 x + x^{2})$

ステップ 7.2

分配則を当てはめます。

$2 (x \cdot - 8) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3

項をまとめます。

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ステップ 7.3.1

$- 8$ を $x$ の左に移動させます。

$2 (- 8 \cdot x) + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.2

$- 8$ に $2$ をかけます。

$- 16 x + 2 (x (2 x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.3

$x$ を $1$ 乗します。

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x)) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.4

$x$ を $1$ 乗します。

$- 16 x + 2 (2 (x^{1} x^{1})) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.5

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$- 16 x + 2 (2 x^{1 + 1}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.6

$1$ と $1$ をたし算します。

$- 16 x + 2 (2 x^{2}) + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.7

$2$ に $2$ をかけます。

$- 16 x + 4 x^{2} + 2 \cdot 16 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.8

$2$ に $16$ をかけます。

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 + 2 (- 8 x) + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.9

$- 8$ に $2$ をかけます。

$- 16 x + 4 x^{2} + 32 - 16 x + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.10

$- 16 x$ から $16 x$ を引きます。

$- 32 x + 4 x^{2} + 32 + 2 x^{2}$

ステップ 7.3.11

$4 x^{2}$ と $2 x^{2}$ をたし算します。

$- 32 x + 6 x^{2} + 32$

ステップ 7.4

項を並べ替えます。

$6 x^{2} - 32 x + 32$

微分積分 例

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