微分積分例

$2 x {(x - 4)}^{3}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x {(x - 4)}^{3}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x {(x - 4)}^{3}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = {(x - 4)}^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{3}] + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = x^{3}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$2 (x (\frac{d}{d u} [u^{3}] \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (3 u^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \frac{d}{d x} [x - 4]) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} (1 + 0)) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

式を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2} \cdot 1) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4.2

$3$ に $1$ をかけます。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3} \cdot 1)$

ステップ 4.6

${(x - 4)}^{3}$ に $1$ をかけます。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2}) + {(x - 4)}^{3})$

ステップ 5

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.1

分配則を当てはめます。

$2 (x (3 {(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

ステップ 5.2

$3$ に $2$ をかけます。

$6 (x ({(x - 4)}^{2})) + 2 {(x - 4)}^{3}$

ステップ 5.3

$2 {(x - 4)}^{2}$ を $6 x {(x - 4)}^{2} + 2 {(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.3.1

$2 {(x - 4)}^{2}$ を $6 x {(x - 4)}^{2}$ で因数分解します。

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{3}$

ステップ 5.3.2

$2 {(x - 4)}^{2}$ を $2 {(x - 4)}^{3}$ で因数分解します。

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$

ステップ 5.3.3

$2 {(x - 4)}^{2}$ を $2 {(x - 4)}^{2} (3 x) + 2 {(x - 4)}^{2} (x - 4)$ で因数分解します。

$2 {(x - 4)}^{2} (3 x + x - 4)$

ステップ 5.4

$3 x$ と $x$ をたし算します。

$2 {(x - 4)}^{2} (4 x - 4)$

ステップ 5.5

${(x - 4)}^{2}$ を $(x - 4) (x - 4)$ に書き換えます。

$2 ((x - 4) (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 5.6

分配法則（FOIL法）を使って $(x - 4) (x - 4)$ を展開します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.6.1

分配則を当てはめます。

$2 (x (x - 4) - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 5.6.2

分配則を当てはめます。

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)) (4 x - 4)$

ステップ 5.6.3

分配則を当てはめます。

$2 (x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 5.7

簡約し、同類項をまとめます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.7.1.1

$x$ に $x$ をかけます。

$2 (x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 5.7.1.2

$- 4$ を $x$ の左に移動させます。

$2 (x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4) (4 x - 4)$

ステップ 5.7.1.3

$- 4$ に $- 4$ をかけます。

$2 (x^{2} - 4 x - 4 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 5.7.2

$- 4 x$ から $4 x$ を引きます。

$2 (x^{2} - 8 x + 16) (4 x - 4)$

ステップ 5.8

分配則を当てはめます。

$(2 x^{2} + 2 (- 8 x) + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

ステップ 5.9

簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.9.1

$- 8$ に $2$ をかけます。

$(2 x^{2} - 16 x + 2 \cdot 16) (4 x - 4)$

ステップ 5.9.2

$2$ に $16$ をかけます。

$(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$

ステップ 5.10

1番目の式の各項に2番目の式の各項を掛け、 $(2 x^{2} - 16 x + 32) (4 x - 4)$ を展開します。

$2 x^{2} (4 x) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.1

積の可換性を利用して書き換えます。

$2 \cdot 4 x^{2} x + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.2

指数を足して $x^{2}$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.2.1

$x$ を移動させます。

$2 \cdot 4 (x \cdot x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.2.2

$x$ に $x^{2}$ をかけます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.2.2.1

$x$ を $1$ 乗します。

$2 \cdot 4 (x^{1} x^{2}) + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.2.2.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \cdot 4 x^{1 + 2} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.2.3

$1$ と $2$ をたし算します。

$2 \cdot 4 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.3

$2$ に $4$ をかけます。

$8 x^{3} + 2 x^{2} \cdot - 4 - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.4

$- 4$ に $2$ をかけます。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 x (4 x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.5

積の可換性を利用して書き換えます。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x \cdot x - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.6

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 5.11.6.1

$x$ を移動させます。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 (x \cdot x) - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.6.2

$x$ に $x$ をかけます。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 16 \cdot 4 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.7

$- 16$ に $4$ をかけます。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} - 16 x \cdot - 4 + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.8

$- 4$ に $- 16$ をかけます。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 32 (4 x) + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.9

$4$ に $32$ をかけます。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x + 32 \cdot - 4$

ステップ 5.11.10

$32$ に $- 4$ をかけます。

$8 x^{3} - 8 x^{2} - 64 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

ステップ 5.12

$- 8 x^{2}$ から $64 x^{2}$ を引きます。

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 64 x + 128 x - 128$

ステップ 5.13

$64 x$ と $128 x$ をたし算します。

$8 x^{3} - 72 x^{2} + 192 x - 128$

微分積分 例

微分積分例