微分積分例

$2 x e^{- x} + e^{2 x}$

ステップ 1

総和則では、 $2 x e^{- x} + e^{2 x}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ です。

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [2 x e^{- x}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{- x}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x e^{- x}] + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{- x}] + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $- x$ とします。

$2 (x (\frac{d}{d u_{1}} [e^{u_{1}}] \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{1}} [a^{u_{1}}]$ は $a^{u_{1}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (x (e^{u_{1}} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$2 (x (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.4

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \frac{d}{d x} [x]) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (e^{- x} (- 1 \cdot 1)) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$2 (x (e^{- x} \cdot - 1) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$2 (x (- 1 \cdot e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x} \cdot 1) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 2.10

$e^{- x}$ に $1$ をかけます。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d x} [e^{2 x}]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [e^{2 x}]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 2 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $2 x$ とします。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + \frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.1.3

$u_{2}$ のすべての発生を $2 x$ で置き換えます。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \frac{d}{d x} [2 x]$

ステップ 3.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} (2 \cdot 1)$

ステップ 3.4

$2$ に $1$ をかけます。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + e^{2 x} \cdot 2$

ステップ 3.5

$2$ を $e^{2 x}$ の左に移動させます。

$2 (x (- e^{- x}) + e^{- x}) + 2 e^{2 x}$

ステップ 4

簡約します。

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ステップ 4.1

分配則を当てはめます。

$2 (x (- e^{- x})) + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

ステップ 4.2

$- 1$ に $2$ をかけます。

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

ステップ 4.3

項を並べ替えます。

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

ステップ 4.4

$- 2 e^{- x} x + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$ の因数を並べ替えます。

$- 2 x e^{- x} + 2 e^{- x} + 2 e^{2 x}$

微分積分 例

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