微分積分例

$2 x e^{5 x^{3}}$

ステップ 1

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x e^{5 x^{3}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x e^{5 x^{3}}]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = e^{5 x^{3}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \frac{d}{d x} [e^{5 x^{3}}] + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = 5 x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x^{3}$ とします。

$2 (x (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$2 (x (e^{u} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 x^{3}$ で置き換えます。

$2 (x (e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [5 x^{3}]) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{3}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 \frac{d}{d x} [x^{3}])) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x (e^{5 x^{3}} (5 (3 x^{2}))) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$3$ に $5$ をかけます。

$2 (x (e^{5 x^{3}} (15 x^{2})) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5

$x$ を $1$ 乗します。

$2 (x^{2} x^{1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 6

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 (x^{2 + 1} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7

式を簡約します。

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ステップ 7.1

$2$ と $1$ をたし算します。

$2 (x^{3} (e^{5 x^{3}} \cdot (15)) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 7.2

$15$ を $e^{5 x^{3}}$ の左に移動させます。

$2 (x^{3} (15 \cdot e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 8

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}} \cdot 1)$

ステップ 9

$e^{5 x^{3}}$ に $1$ をかけます。

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}}) + e^{5 x^{3}})$

ステップ 10

簡約します。

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ステップ 10.1

分配則を当てはめます。

$2 (x^{3} (15 e^{5 x^{3}})) + 2 e^{5 x^{3}}$

ステップ 10.2

$15$ に $2$ をかけます。

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$

ステップ 10.3

項を並べ替えます。

$30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$

ステップ 10.4

$30 e^{5 x^{3}} x^{3} + 2 e^{5 x^{3}}$ の因数を並べ替えます。

$30 x^{3} e^{5 x^{3}} + 2 e^{5 x^{3}}$

微分積分 例

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