微分積分例

$2 x \sin (x) \sqrt{3 x - 1}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{3 x - 1}$ を ${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 1.2

$2$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $2 x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ の微分係数は $2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$ です。

$2 \frac{d}{d x} [x \sin (x) {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}]$

ステップ 2

$f (x) = x \sin (x)$ および $g (x) = {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (x \sin (x) \frac{d}{d x} [{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 3

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = 3 x - 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $3 x - 1$ とします。

$2 (x \sin (x) (\frac{d}{d u} [u^{\frac{1}{2}}] \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 3.2

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} u^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $3 x - 1$ で置き換えます。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{1 - 2}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{\frac{- 1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8

微分します。

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ステップ 8.1

分数の前に負数を移動させます。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2} {(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.2

分数をまとめます。

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ステップ 8.2.1

$\frac{1}{2}$ と ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$2 (x \sin (x) (\frac{{(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}}{2} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.2.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して ${(3 x - 1)}^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$2 (x \sin (x) (\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.2.3

$\frac{1}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $x$ をまとめます。

$2 (\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \sin (x) \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.2.4

$\frac{x}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $\sin (x)$ をまとめます。

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [3 x - 1] + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.3

総和則では、 $3 x - 1$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]$ です。

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (\frac{d}{d x} [3 x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.4

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.6

$3$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + \frac{d}{d x} [- 1]) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.7

$- 1$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 1$ の微分係数は $0$ です。

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} (3 + 0) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.8

分数をまとめます。

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ステップ 8.8.1

$3$ と $0$ をたし算します。

$2 (\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} \cdot 3 + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.8.2

$\frac{x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ と $3$ をまとめます。

$2 (\frac{x \sin (x) \cdot 3}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 8.8.3

$3$ を $x \sin (x)$ の左に移動させます。

$2 (\frac{3 \cdot (x \sin (x))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [x \sin (x)])$

ステップ 9

$f (x) = x$ および $g (x) = \sin (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \frac{d}{d x} [\sin (x)] + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 10

$x$ に関する $\sin (x)$ の微分係数は $\cos (x)$ です。

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \frac{d}{d x} [x]))$

ステップ 11

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 11.1

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x) \cdot 1))$

ステップ 11.2

$\sin (x)$ に $1$ をかけます。

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)))$

ステップ 12

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ を掛けます。

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) \cdot \frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 13

${(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x))$ と $\frac{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$2 (\frac{3 x \sin (x)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}} + \frac{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 14

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{3 x \sin (x) + {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}} (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2} + \frac{1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16

式を簡約します。

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ステップ 16.1

公分母の分子をまとめます。

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{1 + 1}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 16.2

$1$ と $1$ をたし算します。

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17

$2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 17.1

共通因数を約分します。

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{\frac{2}{2}})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 17.2

式を書き換えます。

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 {(3 x - 1)}^{1})}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 18

簡約します。

$2 \frac{3 x \sin (x) + (x \cos (x) + \sin (x)) (2 (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 19

$2$ を $x \cos (x) + \sin (x)$ の左に移動させます。

$2 \frac{3 x \sin (x) + 2 \cdot (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 20

$2$ と $\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 21

共通因数を約分します。

$\frac{2 (3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1))}{2 {(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 22

式を書き換えます。

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cos (x) + \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23

簡約します。

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ステップ 23.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \sin (x) + (2 (x \cos (x)) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2

分子を簡約します。

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ステップ 23.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 23.2.1.1

分配法則（FOIL法）を使って $(2 x \cos (x) + 2 \sin (x)) (3 x - 1)$ を展開します。

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ステップ 23.2.1.1.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x - 1) + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.1.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x - 1)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.1.3

分配則を当てはめます。

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x \cos (x) (3 x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.2

各項を簡約します。

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ステップ 23.2.1.2.1

指数を足して $x$ に $x$ を掛けます。

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ステップ 23.2.1.2.1.1

$x$ を移動させます。

$\frac{3 x \sin (x) + 2 (x \cdot x) \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.2.1.2

$x$ に $x$ をかけます。

$\frac{3 x \sin (x) + 2 x^{2} \cos (x) \cdot 3 + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.2.2

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) + 2 x \cos (x) \cdot - 1 + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.2.3

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 2 \sin (x) (3 x) + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.2.4

$3$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x + 2 \sin (x) \cdot - 1}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.1.2.5

$- 1$ に $2$ をかけます。

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) + 6 \sin (x) x - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.2

$3 x \sin (x)$ と $6 \sin (x) x$ をたし算します。

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ステップ 23.2.2.1

$\sin (x)$ を移動させます。

$\frac{3 x \sin (x) + 6 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 23.2.2.2

$3 x \sin (x)$ と $6 x \sin (x)$ をたし算します。

$\frac{9 x \sin (x) + 6 x^{2} \cos (x) - 2 x \cos (x) - 2 \sin (x)}{{(3 x - 1)}^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

微分積分例