微分積分例

$f (x) = \frac{1}{x - 4}$

ステップ 1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1

一次導関数を求めます。

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ステップ 1.1.1

$\frac{1}{x - 4}$ を ${(x - 4)}^{- 1}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [{(x - 4)}^{- 1}]$

ステップ 1.1.2

$f (x) = x^{- 1}$ および $g (x) = x - 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 1.1.2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x - 4$ とします。

$\frac{d}{d u} [u^{- 1}] \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.2.2

$n = - 1$ のとき、 $\frac{d}{d u} [u^{n}]$ は $n u^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- u^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.2.3

$u$ のすべての発生を $x - 4$ で置き換えます。

$- {(x - 4)}^{- 2} \frac{d}{d x} [x - 4]$

ステップ 1.1.3

微分します。

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ステップ 1.1.3.1

総和則では、 $x - 4$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4]$ です。

$- {(x - 4)}^{- 2} (\frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.3.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + \frac{d}{d x} [- 4])$

ステップ 1.1.3.3

$- 4$ は $x$ について定数なので、 $x$ について $- 4$ の微分係数は $0$ です。

$- {(x - 4)}^{- 2} (1 + 0)$

ステップ 1.1.3.4

式を簡約します。

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ステップ 1.1.3.4.1

$1$ と $0$ をたし算します。

$- {(x - 4)}^{- 2} \cdot 1$

ステップ 1.1.3.4.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$- {(x - 4)}^{- 2}$

ステップ 1.1.4

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して式を書き換えます。

$f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 1.2

$x$ に関する $f (x)$ の一次導関数は $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ です。

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$

ステップ 2

一次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$ を解きます。

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ステップ 2.1

一次導関数を $0$ に等しくします。

$- \frac{1}{{(x - 4)}^{2}} = 0$

ステップ 2.2

分子を0に等しくします。

$1 = 0$

ステップ 2.3

$1 \neq 0$ なので、解はありません。

解がありません

ステップ 3

微分係数が $0$ または未定義であるという、元の問題の定義域に $x$ の値はありません。

臨界点が見つかりません

ステップ 4

微分係数が未定義になる場所を求めます。

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ステップ 4.1

$\frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ の分母を $0$ に等しいとして、式が未定義である場所を求めます。

${(x - 4)}^{2} = 0$

ステップ 4.2

$x$ について解きます。

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ステップ 4.2.1

$x - 4$ が $0$ に等しいとします。

$x - 4 = 0$

ステップ 4.2.2

方程式の両辺に $4$ を足します。

$x = 4$

ステップ 5

微分係数 $f' (x) = - \frac{1}{{(x - 4)}^{2}}$ を $0$ または未定義にする点を求めた後、 $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ が増加・減少している場所を確認する間隔は $(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$ です。

$(- \infty, 4) \cup (4, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, 4)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $3$ で置換えます。

$f' (3) = - \frac{1}{{((3) - 4)}^{2}}$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 6.2.1.1

$3$ から $4$ を引きます。

$f' (3) = - \frac{1}{{(- 1)}^{2}}$

ステップ 6.2.1.2

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

ステップ 6.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 6.2.2.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 6.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (3) = - \frac{1}{1}$

ステップ 6.2.2.1.2

式を書き換えます。

$f' (3) = - 1 \cdot 1$

ステップ 6.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (3) = - 1$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 6.3

$x = 3$ で微分係数は $- 1$ です。これは負の値なので、関数は $(- \infty, 4)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(- \infty, 4)$ で減少

ステップ 7

区間 $(4, \infty)$ から値を微分係数に代入し、関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $5$ で置換えます。

$f' (5) = - \frac{1}{{((5) - 4)}^{2}}$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

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ステップ 7.2.1

分母を簡約します。

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ステップ 7.2.1.1

$5$ から $4$ を引きます。

$f' (5) = - \frac{1}{1^{2}}$

ステップ 7.2.1.2

1のすべての数の累乗は1です。

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

ステップ 7.2.2

今日数因数で約分することで式を約分します。

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ステップ 7.2.2.1

$1$ の共通因数を約分します。

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ステップ 7.2.2.1.1

共通因数を約分します。

$f' (5) = - \frac{1}{1}$

ステップ 7.2.2.1.2

式を書き換えます。

$f' (5) = - 1 \cdot 1$

ステップ 7.2.2.2

$- 1$ に $1$ をかけます。

$f' (5) = - 1$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 1$ です。

$- 1$

ステップ 7.3

$x = 5$ で微分係数は $- 1$ です。これは負の値なので、関数は $(4, \infty)$ で減少します。

$f' (x) < 0$ なので $(4, \infty)$ で減少

ステップ 8

関数が増加する区間と減少する区間を記載します。

$(- \infty, 4), (4, \infty)$ で減少

ステップ 9

微分積分 例

微分積分例