微分積分例

$5 x^{4} + 20 x^{3}$

ステップ 1

$5 x^{4} + 20 x^{3}$ を関数で書きます。

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$

ステップ 2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1

一次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.1

総和則では、 $5 x^{4} + 20 x^{3}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ です。

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2

$\frac{d}{d x} [5 x^{4}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.2.1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x^{4}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x^{4}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [x^{4}] + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.2

$n = 4$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 (4 x^{3}) + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.2.3

$4$ に $5$ をかけます。

$20 x^{3} + \frac{d}{d x} [20 x^{3}]$

ステップ 2.1.3

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.1.3.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$20 x^{3} + 20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 2.1.3.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 x^{3} + 20 (3 x^{2})$

ステップ 2.1.3.3

$3$ に $20$ をかけます。

$f' (x) = 20 x^{3} + 60 x^{2}$

ステップ 2.2

二次導関数を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.1

総和則では、 $20 x^{3} + 60 x^{2}$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ です。

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

ステップ 2.2.2

$\frac{d}{d x} [20 x^{3}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.2.1

$20$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $20 x^{3}$ の微分係数は $20 \frac{d}{d x} [x^{3}]$ です。

$20 \frac{d}{d x} [x^{3}] + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.2

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$20 (3 x^{2}) + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

ステップ 2.2.2.3

$3$ に $20$ をかけます。

$60 x^{2} + \frac{d}{d x} [60 x^{2}]$

ステップ 2.2.3

$\frac{d}{d x} [60 x^{2}]$ の値を求めます。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 2.2.3.1

$60$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $60 x^{2}$ の微分係数は $60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$ です。

$60 x^{2} + 60 \frac{d}{d x} [x^{2}]$

ステップ 2.2.3.2

$n = 2$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$60 x^{2} + 60 (2 x)$

ステップ 2.2.3.3

$2$ に $60$ をかけます。

$f'' (x) = 60 x^{2} + 120 x$

ステップ 2.3

$x$ に関する $f (x)$ の二次導関数は $60 x^{2} + 120 x$ です。

$60 x^{2} + 120 x$

ステップ 3

二次導関数を $0$ と等しくし、次に方程式 $60 x^{2} + 120 x = 0$ を解きます。

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ステップ 3.1

二次導関数を $0$ に等しくします。

$60 x^{2} + 120 x = 0$

ステップ 3.2

$60 x$ を $60 x^{2} + 120 x$ で因数分解します。

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ステップ 3.2.1

$60 x$ を $60 x^{2}$ で因数分解します。

$60 x (x) + 120 x = 0$

ステップ 3.2.2

$60 x$ を $120 x$ で因数分解します。

$60 x (x) + 60 x (2) = 0$

ステップ 3.2.3

$60 x$ を $60 x (x) + 60 x (2)$ で因数分解します。

$60 x (x + 2) = 0$

ステップ 3.3

方程式の左辺の個々の因数が $0$ と等しいならば、式全体は $0$ と等しくなります。

$x = 0$

$x + 2 = 0$

ステップ 3.4

$x$ が $0$ に等しいとします。

$x = 0$

ステップ 3.5

$x + 2$ を $0$ に等しくし、 $x$ を解きます。

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ステップ 3.5.1

$x + 2$ が $0$ に等しいとします。

$x + 2 = 0$

ステップ 3.5.2

方程式の両辺から $2$ を引きます。

$x = - 2$

ステップ 3.6

最終解は $60 x (x + 2) = 0$ を真にするすべての値です。

$x = 0, - 2$

ステップ 4

二次導関数が $0$ である点を求めます。

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ステップ 4.1

$0$ を $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.1.1

式の変数 $x$ を $0$ で置換えます。

$f (0) = 5 {(0)}^{4} + 20 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1

各項を簡約します。

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ステップ 4.1.2.1.1

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 5 \cdot 0 + 20 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.2

$5$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 20 {(0)}^{3}$

ステップ 4.1.2.1.3

$0$ を正数乗し、 $0$ を得ます。

$f (0) = 0 + 20 \cdot 0$

ステップ 4.1.2.1.4

$20$ に $0$ をかけます。

$f (0) = 0 + 0$

ステップ 4.1.2.2

$0$ と $0$ をたし算します。

$f (0) = 0$

ステップ 4.1.2.3

最終的な答えは $0$ です。

$0$

ステップ 4.2

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ で代入して $0$ 求めた点は、 $(0, 0)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(0, 0)$

ステップ 4.3

$- 2$ を $f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ に代入し、 $y$ の値を求めます。

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ステップ 4.3.1

式の変数 $x$ を $- 2$ で置換えます。

$f (- 2) = 5 {(- 2)}^{4} + 20 {(- 2)}^{3}$

ステップ 4.3.2

結果を簡約します。

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ステップ 4.3.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 4.3.2.1.1

$- 2$ を $4$ 乗します。

$f (- 2) = 5 \cdot 16 + 20 {(- 2)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.2

$5$ に $16$ をかけます。

$f (- 2) = 80 + 20 {(- 2)}^{3}$

ステップ 4.3.2.1.3

$- 2$ を $3$ 乗します。

$f (- 2) = 80 + 20 \cdot - 8$

ステップ 4.3.2.1.4

$20$ に $- 8$ をかけます。

$f (- 2) = 80 - 160$

ステップ 4.3.2.2

$80$ から $160$ を引きます。

$f (- 2) = - 80$

ステップ 4.3.2.3

最終的な答えは $- 80$ です。

$- 80$

ステップ 4.4

$f (x) = 5 x^{4} + 20 x^{3}$ で代入して $- 2$ 求めた点は、 $(- 2, - 80)$ です。この点は変曲点となり得ます。

$(- 2, - 80)$

ステップ 4.5

変曲点になりうる点を判定します。

$(0, 0), (- 2, - 80)$

ステップ 5

変曲点となりうる点の周囲で $(- \infty, \infty)$ を区間に分割します。

$(- \infty, - 2) \cup (- 2, 0) \cup (0, \infty)$

ステップ 6

区間 $(- \infty, - 2)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 6.1

式の変数 $x$ を $- 2.1$ で置換えます。

$f'' (- 2.1) = 60 {(- 2.1)}^{2} + 120 (- 2.1)$

ステップ 6.2

結果を簡約します。

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ステップ 6.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 6.2.1.1

$- 2.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 2.1) = 60 \cdot 4.41 + 120 (- 2.1)$

ステップ 6.2.1.2

$60$ に $4.41$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 264.6 + 120 (- 2.1)$

ステップ 6.2.1.3

$120$ に $- 2.1$ をかけます。

$f'' (- 2.1) = 264.6 - 252$

ステップ 6.2.2

$264.6$ から $252$ を引きます。

$f'' (- 2.1) = 12.6$

ステップ 6.2.3

最終的な答えは $12.6$ です。

$12.6$

ステップ 6.3

$- 2.1$ で二次導関数は $12.6$ です。これは正の値なので、 $(- \infty, - 2)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(- \infty, - 2)$ で増加

ステップ 7

区間 $(- 2, 0)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 7.1

式の変数 $x$ を $- 1$ で置換えます。

$f'' (- 1) = 60 {(- 1)}^{2} + 120 (- 1)$

ステップ 7.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 7.2.1.1

$- 1$ を $2$ 乗します。

$f'' (- 1) = 60 \cdot 1 + 120 (- 1)$

ステップ 7.2.1.2

$60$ に $1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 60 + 120 (- 1)$

ステップ 7.2.1.3

$120$ に $- 1$ をかけます。

$f'' (- 1) = 60 - 120$

ステップ 7.2.2

$60$ から $120$ を引きます。

$f'' (- 1) = - 60$

ステップ 7.2.3

最終的な答えは $- 60$ です。

$- 60$

ステップ 7.3

$- 1$ で二次導関数は $- 60$ です。これは負の値なので、 $(- 2, 0)$ の区間で減少します。

$f'' (x) < 0$ なので $(- 2, 0)$ で減少

ステップ 8

区間 $(0, \infty)$ から値を二次導関数に代入し、二次導関数が増加関数か減少関数か判定します。

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ステップ 8.1

式の変数 $x$ を $0.1$ で置換えます。

$f'' (0.1) = 60 {(0.1)}^{2} + 120 (0.1)$

ステップ 8.2

結果を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1

各項を簡約します。

タップして手順をさらに表示してください…

ステップ 8.2.1.1

$0.1$ を $2$ 乗します。

$f'' (0.1) = 60 \cdot 0.01 + 120 (0.1)$

ステップ 8.2.1.2

$60$ に $0.01$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.6 + 120 (0.1)$

ステップ 8.2.1.3

$120$ に $0.1$ をかけます。

$f'' (0.1) = 0.6 + 12$

ステップ 8.2.2

$0.6$ と $12$ をたし算します。

$f'' (0.1) = 12.6$

ステップ 8.2.3

最終的な答えは $12.6$ です。

$12.6$

ステップ 8.3

$0.1$ で二次導関数は $12.6$ です。これは正の値なので、 $(0, \infty)$ の区間で増加します。

$f'' (x) > 0$ なので $(0, \infty)$ で増加

ステップ 9

変曲点は、凹面の符号がプラスからマイナス、またはマイナスからプラスに変わる曲線上の点です。ここでは変曲点は $(- 2, - 80), (0, 0)$ です。

$(- 2, - 80), (0, 0)$

ステップ 10

微分積分 例

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