微分積分例

$3 \sqrt{x} \ln (x)$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

ステップ 1.2

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x^{\frac{1}{2}} \ln (x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}} \ln (x)]$

ステップ 2

$f (x) = x^{\frac{1}{2}}$ および $g (x) = \ln (x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{d}{d x} [\ln (x)] + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3

$x$ に関する $\ln (x)$ の微分係数は $\frac{1}{x}$ です。

$3 (x^{\frac{1}{2}} \frac{1}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4

分数をまとめます。

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ステップ 4.1

$x^{\frac{1}{2}}$ と $\frac{1}{x}$ をまとめます。

$3 (\frac{x^{\frac{1}{2}}}{x} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 4.2

負の指数法則 $b^{n} = \frac{1}{b^{- n}}$ を利用して $x^{\frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 (\frac{1}{x \cdot x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5

指数を足して $x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ を掛けます。

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ステップ 5.1

$x$ に $x^{- \frac{1}{2}}$ をかけます。

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ステップ 5.1.1

$x$ を $1$ 乗します。

$3 (\frac{1}{x^{1} x^{- \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5.1.2

べき乗則 $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ を利用して指数を組み合わせます。

$3 (\frac{1}{x^{1 - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5.2

$1$ を公分母をもつ分数で書きます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{2}{2} - \frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5.3

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{2 - 1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 5.4

$2$ から $1$ を引きます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 6

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1}))$

ステップ 7

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}}))$

ステップ 8

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 9

公分母の分子をまとめます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}}))$

ステップ 10

分子を簡約します。

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ステップ 10.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}}))$

ステップ 10.2

$1$ から $2$ を引きます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}}))$

ステップ 11

分数の前に負数を移動させます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}}))$

ステップ 12

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \ln (x) \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 13

$\ln (x)$ と $\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ をまとめます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x) x^{- \frac{1}{2}}}{2})$

ステップ 14

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$3 (\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}})$

ステップ 15

簡約します。

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ステップ 15.1

分配則を当てはめます。

$3 \frac{1}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15.2

項をまとめます。

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ステップ 15.2.1

$3$ と $\frac{1}{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + 3 \frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 15.2.2

$3$ と $\frac{\ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{3}{x^{\frac{1}{2}}} + \frac{3 \ln (x)}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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