微分積分例

$3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$

ステップ 1

総和則では、 $3 x \cosh (y) - \sinh ({(e^{x})}^{- 1})$ の $x$ に関する積分は $\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ です。

$\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

ステップ 2

$\frac{d}{d x} [3 x \cosh (y)]$ の値を求めます。

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ステップ 2.1

$3 \cosh (y)$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x \cosh (y)$ の微分係数は $3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \cosh (y) \frac{d}{d x} [x] + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

ステップ 2.2

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cosh (y) \cdot 1 + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

ステップ 2.3

$3$ に $1$ をかけます。

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$

ステップ 3

$\frac{d}{d x} [- \sinh ({(e^{x})}^{- 1})]$ の値を求めます。

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ステップ 3.1

${(e^{x})}^{- 1}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{x \cdot - 1})]$

ステップ 3.1.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- 1 \cdot x})]$

ステップ 3.1.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$3 \cosh (y) + \frac{d}{d x} [- \sinh (e^{- x})]$

ステップ 3.2

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- \sinh (e^{- x})$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$ です。

$3 \cosh (y) - \frac{d}{d x} [\sinh (e^{- x})]$

ステップ 3.3

$f (x) = \sinh (x)$ および $g (x) = e^{- x}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $e^{- x}$ とします。

$3 \cosh (y) - (\frac{d}{d u_{1}} [\sinh (u_{1})] \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 3.3.2

$u_{1}$ に関する $\sinh (u_{1})$ の微分係数は $\cosh (u_{1})$ です。

$3 \cosh (y) - (\cosh (u_{1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 3.3.3

$u_{1}$ のすべての発生を $e^{- x}$ で置き換えます。

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ステップ 3.3.3.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{x \cdot - 1}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 3.3.3.2

$- 1$ を $x$ の左に移動させます。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- 1 \cdot x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 3.3.3.3

$- 1 x$ を $- x$ に書き換えます。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) \frac{d}{d x} [e^{- x}])$

ステップ 3.4

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = - x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $- x$ とします。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (\frac{d}{d u_{2}} [e^{u_{2}}] \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 3.4.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u_{2}} [a^{u_{2}}]$ は $a^{u_{2}} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{u_{2}} \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 3.4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $- x$ で置き換えます。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \frac{d}{d x} [- x]))$

ステップ 3.5

$- 1$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $- x$ の微分係数は $- \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- \frac{d}{d x} [x])))$

ステップ 3.6

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} (- 1 \cdot 1)))$

ステップ 3.7

$- 1$ に $1$ をかけます。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (e^{- x} \cdot - 1))$

ステップ 3.8

$- 1$ を $e^{- x}$ の左に移動させます。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- 1 \cdot e^{- x}))$

ステップ 3.9

$- 1 e^{- x}$ を $- e^{- x}$ に書き換えます。

$3 \cosh (y) - (\cosh (e^{- x}) (- e^{- x}))$

ステップ 3.10

$- 1$ に $- 1$ をかけます。

$3 \cosh (y) + 1 (\cosh (e^{- x}) (e^{- x}))$

ステップ 3.11

$\cosh (e^{- x})$ に $1$ をかけます。

$3 \cosh (y) + \cosh (e^{- x}) e^{- x}$

ステップ 4

項を並べ替えます。

$e^{- x} \cosh (e^{- x}) + 3 \cosh (y)$

微分積分 例

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