微分積分例

$3 x \arctan (5 x)$

ステップ 1

$3$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $3 x \arctan (5 x)$ の微分係数は $3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$ です。

$3 \frac{d}{d x} [x \arctan (5 x)]$

ステップ 2

$f (x) = x$ および $g (x) = \arctan (5 x)$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (x) g (x)]$ は $f (x) \frac{d}{d x} [g (x)] + g (x) \frac{d}{d x} [f (x)]$ であるという積の法則を使って微分します。

$3 (x \frac{d}{d x} [\arctan (5 x)] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3

$f (x) = \arctan (x)$ および $g (x) = 5 x$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 3.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $5 x$ とします。

$3 (x (\frac{d}{d u} [\arctan (u)] \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.2

$u$ に関する $\arctan (u)$ の微分係数は $\frac{1}{1 + u^{2}}$ です。

$3 (x (\frac{1}{1 + u^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 3.3

$u$ のすべての発生を $5 x$ で置き換えます。

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 x)}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4

微分します。

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ステップ 4.1

$5$ を $5 x$ で因数分解します。

$3 (x (\frac{1}{1 + {(5 (x))}^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2

分数をまとめます。

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ステップ 4.2.1

式を簡約します。

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ステップ 4.2.1.1

積の法則を $5 (x)$ に当てはめます。

$3 (x (\frac{1}{1 + 5^{2} x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2.1.2

$5$ を $2$ 乗します。

$3 (x (\frac{1}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.2.2

$\frac{1}{1 + 25 x^{2}}$ と $x$ をまとめます。

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [5 x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.3

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 x$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [x]$ です。

$3 (\frac{x}{1 + 25 x^{2}} (5 \frac{d}{d x} [x]) + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.4

$5$ と $\frac{x}{1 + 25 x^{2}}$ をまとめます。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \frac{d}{d x} [x] + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} \cdot 1 + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.6

$\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}}$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 4.7

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x) \cdot 1)$

ステップ 4.8

$\arctan (5 x)$ に $1$ をかけます。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \arctan (5 x))$

ステップ 5

$\arctan (5 x)$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{1 + 25 x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$ を掛けます。

$3 (\frac{5 x}{1 + 25 x^{2}} + \frac{\arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$3 \frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 7

$3$ と $\frac{5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$ をまとめます。

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) (1 + 25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 8

簡約します。

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ステップ 8.1

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (5 x + \arctan (5 x) \cdot 1 + \arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 8.2

分配則を当てはめます。

$\frac{3 (5 x) + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 8.3

分子を簡約します。

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ステップ 8.3.1

各項を簡約します。

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ステップ 8.3.1.1

$5$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 x + 3 (\arctan (5 x) \cdot 1) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 8.3.1.2

$\arctan (5 x)$ に $1$ をかけます。

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (\arctan (5 x) (25 x^{2}))}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 8.3.1.3

積の可換性を利用して書き換えます。

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 3 (25 \arctan (5 x) x^{2})}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 8.3.1.4

$25$ に $3$ をかけます。

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 8.3.2

$15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 \arctan (5 x) x^{2}$ の因数を並べ替えます。

$\frac{15 x + 3 \arctan (5 x) + 75 x^{2} \arctan (5 x)}{1 + 25 x^{2}}$

ステップ 8.4

項を並べ替えます。

$\frac{75 x^{2} \arctan (5 x) + 15 x + 3 \arctan (5 x)}{25 x^{2} + 1}$

微分積分 例

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