微分積分例

$5 e^{\sqrt{x}}$

ステップ 1

定数倍の公式を使って微分します。

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ステップ 1.1

$\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ を利用し、 $\sqrt{x}$ を $x^{\frac{1}{2}}$ に書き換えます。

$\frac{d}{d x} [5 e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 1.2

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 e^{x^{\frac{1}{2}}}$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [e^{x^{\frac{1}{2}}}]$

ステップ 2

$f (x) = e^{x}$ および $g (x) = x^{\frac{1}{2}}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{\frac{1}{2}}$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [e^{u}] \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.2

$a$ = $e$ のとき、 $\frac{d}{d u} [a^{u}]$ は $a^{u} \ln (a)$ であるという指数法則を使って微分します。

$5 (e^{u} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{\frac{1}{2}}$ で置き換えます。

$5 (e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{d}{d x} [x^{\frac{1}{2}}])$

ステップ 3

$n = \frac{1}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1})$

ステップ 4

$- 1$ を公分母のある分数として書くために、 $\frac{2}{2}$ を掛けます。

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} - 1 \cdot \frac{2}{2}})$

ステップ 5

$- 1$ と $\frac{2}{2}$ をまとめます。

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1}{2} + \frac{- 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 6

公分母の分子をまとめます。

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 1 \cdot 2}{2}})$

ステップ 7

分子を簡約します。

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ステップ 7.1

$- 1$ に $2$ をかけます。

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{1 - 2}{2}})$

ステップ 7.2

$1$ から $2$ を引きます。

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{\frac{- 1}{2}})$

ステップ 8

分数の前に負数を移動させます。

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} (\frac{1}{2} x^{- \frac{1}{2}})$

ステップ 9

$\frac{1}{2}$ と $x^{- \frac{1}{2}}$ をまとめます。

$5 e^{x^{\frac{1}{2}}} \frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$

ステップ 10

$\frac{x^{- \frac{1}{2}}}{2}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2} e^{x^{\frac{1}{2}}}$

ステップ 11

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5}{2}$ と $e^{x^{\frac{1}{2}}}$ をまとめます。

$\frac{x^{- \frac{1}{2}} \cdot 5 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 12

式を簡約します。

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ステップ 12.1

$5$ を $x^{- \frac{1}{2}}$ の左に移動させます。

$\frac{5 \cdot x^{- \frac{1}{2}} e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2}$

ステップ 12.2

負の指数法則 $b^{- n} = \frac{1}{b^{n}}$ を利用して $x^{- \frac{1}{2}}$ を分母に移動させます。

$\frac{5 e^{x^{\frac{1}{2}}}}{2 x^{\frac{1}{2}}}$

微分積分 例

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