微分積分例

$4 \ln (\tanh (\frac{x}{2}))$

ステップ 1

$4$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $4 \ln (\tanh (\frac{x}{2}))$ の微分係数は $4 \frac{d}{d x} [\ln (\tanh (\frac{x}{2}))]$ です。

$4 \frac{d}{d x} [\ln (\tanh (\frac{x}{2}))]$

ステップ 2

$f (x) = \ln (x)$ および $g (x) = \tanh (\frac{x}{2})$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{1}$ を $\tanh (\frac{x}{2})$ とします。

$4 (\frac{d}{d u_{1}} [\ln (u_{1})] \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

ステップ 2.2

$u_{1}$ に関する $\ln (u_{1})$ の微分係数は $\frac{1}{u_{1}}$ です。

$4 (\frac{1}{u_{1}} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

ステップ 2.3

$u_{1}$ のすべての発生を $\tanh (\frac{x}{2})$ で置き換えます。

$4 (\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})])$

ステップ 3

$\frac{1}{\tanh (\frac{x}{2})}$ と $4$ をまとめます。

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\tanh (\frac{x}{2})]$

ステップ 4

$f (x) = \tanh (x)$ および $g (x) = \frac{x}{2}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 4.1

連鎖律を当てはめるために、 $u_{2}$ を $\frac{x}{2}$ とします。

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} (\frac{d}{d u_{2}} [\tanh (u_{2})] \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 4.2

$u_{2}$ に関する $\tanh (u_{2})$ の微分係数は ${sech}^{2} (u_{2})$ です。

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} ({sech}^{2} (u_{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 4.3

$u_{2}$ のすべての発生を $\frac{x}{2}$ で置き換えます。

$\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})} ({sech}^{2} (\frac{x}{2}) \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}])$

ステップ 5

微分します。

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ステップ 5.1

${sech}^{2} (\frac{x}{2})$ と $\frac{4}{\tanh (\frac{x}{2})}$ をまとめます。

$\frac{{sech}^{2} (\frac{x}{2}) \cdot 4}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 5.2

$4$ を ${sech}^{2} (\frac{x}{2})$ の左に移動させます。

$\frac{4 \cdot {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [\frac{x}{2}]$

ステップ 5.3

$\frac{1}{2}$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $\frac{x}{2}$ の微分係数は $\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x]$ です。

$\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} (\frac{1}{2} \frac{d}{d x} [x])$

ステップ 5.4

項を簡約します。

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ステップ 5.4.1

$\frac{1}{2}$ に $\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$ をかけます。

$\frac{4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4.2

$4$ と $2$ の共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.1

$2$ を $4 {sech}^{2} (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4.2.2

共通因数を約分します。

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ステップ 5.4.2.2.1

$2$ を $2 \tanh (\frac{x}{2})$ で因数分解します。

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 (\tanh (\frac{x}{2}))} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4.2.2.2

共通因数を約分します。

$\frac{2 (2 {sech}^{2} (\frac{x}{2}))}{2 \tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.4.2.2.3

式を書き換えます。

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \frac{d}{d x} [x]$

ステップ 5.5

$n = 1$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})} \cdot 1$

ステップ 5.6

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$ に $1$ をかけます。

$\frac{2 {sech}^{2} (\frac{x}{2})}{\tanh (\frac{x}{2})}$

微分積分 例

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