微分積分例

$5 \arcsin (x^{3})$

ステップ 1

$5$ は $x$ に対して定数なので、 $x$ に対する $5 \arcsin (x^{3})$ の微分係数は $5 \frac{d}{d x} [\arcsin (x^{3})]$ です。

$5 \frac{d}{d x} [\arcsin (x^{3})]$

ステップ 2

$f (x) = \arcsin (x)$ および $g (x) = x^{3}$ のとき、 $\frac{d}{d x} [f (g (x))]$ は $f' (g (x)) g' (x)$ であるという連鎖律を使って微分します。

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ステップ 2.1

連鎖律を当てはめるために、 $u$ を $x^{3}$ とします。

$5 (\frac{d}{d u} [\arcsin (u)] \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.2

$u$ に関する $\arcsin (u)$ の微分係数は $\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}}$ です。

$5 (\frac{1}{\sqrt{1 - u^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 2.3

$u$ のすべての発生を $x^{3}$ で置き換えます。

$5 (\frac{1}{\sqrt{1 - {(x^{3})}^{2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3

べき乗則を使って微分します。

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ステップ 3.1

${(x^{3})}^{2}$ の指数を掛けます。

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ステップ 3.1.1

べき乗則を当てはめて、指数 ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ をかけ算します。

$5 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{3 \cdot 2}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.1.2

$3$ に $2$ をかけます。

$5 (\frac{1}{\sqrt{1 - x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}])$

ステップ 3.2

$\frac{1}{\sqrt{1 - x^{6}}}$ と $5$ をまとめます。

$\frac{5}{\sqrt{1 - x^{6}}} \frac{d}{d x} [x^{3}]$

ステップ 3.3

$n = 3$ のとき、 $\frac{d}{d x} [x^{n}]$ は $n x^{n - 1}$ であるというべき乗則を使って微分します。

$\frac{5}{\sqrt{1 - x^{6}}} (3 x^{2})$

ステップ 3.4

分数をまとめます。

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ステップ 3.4.1

$3$ と $\frac{5}{\sqrt{1 - x^{6}}}$ をまとめます。

$\frac{3 \cdot 5}{\sqrt{1 - x^{6}}} x^{2}$

ステップ 3.4.2

$3$ に $5$ をかけます。

$\frac{15}{\sqrt{1 - x^{6}}} x^{2}$

ステップ 3.4.3

$\frac{15}{\sqrt{1 - x^{6}}}$ と $x^{2}$ をまとめます。

$\frac{15 x^{2}}{\sqrt{1 - x^{6}}}$

微分積分 例